夏令营501-511NOIP训练18——高三楼
传送门:QAQQAQ
题意:定义矩阵A与矩阵B重复,当且仅当A可以通过任意次行列交换得到B,例如下图A,B即为合法矩阵
现求对于$n*n$的矩阵有多少个不重复的矩阵
数据范围:
对于10%的数据 N≤5;
对于50%的数据 N≤150;
对于100%的数据T≤5 N≤2,000。
思路:这题暴力都不会打啊。。。
既然是行列变换,那么我们就要从行列变换中找到一些不变量。
我们可以把矩阵看成描述一个两边点数均为$n$的二分图的邻接矩阵,那么我们行列交换就相当于把两个点“扭一下”,但图的本质是不会变的。
我们这里定义“本质”是指连通块回路(即从一个点出发开始搜,再次搜回这个点的路径块)的情况,因为无论我们怎么换点,这些连通块的总个数和各自点数都是不会变的。(因为每个点都引出两条边,所以一定有联通块)
所以我们就要构造二分图,使这些二分图的连通块不相同。
因为连通块无序,而且在$2*n$的二分图中构成一个连通块至少要四个点,我们把它简化到一边:一边构成连通块的的点数至少为二
所以题目就转化成了将$n$正整数拆分成若干个大于等于二的自然数,无序,求方案数。
简单吧!可是这种神仙YY题鬼想得到。。。
代码:(因为无序,所以要和完全背包一样先枚举往里面加的数,再枚举总和,可以保证一个数加完以后就不会再被考虑)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=; int dp[]; int main()
{
int t,n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
memset(dp,,sizeof(dp));
dp[]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j++) dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%MOD;
}
cout<<dp[n]<<endl;
}
return ;
}
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