O(N)求出1~n逆元

这是一个黑科技。

可以将某些题目硬生生地压到O(N)

不过这求的是1~n的逆元，多了不行……

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结论

接下来放式子：

inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;

用数学方法来表示：

i−1=(M−⌊Mi⌋)(Mmod  i)−1mod  Mi^{-1}=\left(M-\lfloor\frac{M}{i}\rfloor\right)\left(M\mod i\right)^{-1}\mod Mi−1=(M−⌊iM​⌋)(Mmodi)−1modM

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证明

设k=⌊Mi⌋k=\lfloor\frac{M}{i}\rfloork=⌊iM​⌋，r=Mmod  ir=M \mod ir=Mmodi

∴ik+r≡0(mod  M)∴−ik≡r(mod  M)\therefore ik+r \equiv 0 \left(\mod M\right) \\
\therefore -ik \equiv r \left(\mod M\right)∴ik+r≡0(modM)∴−ik≡r(modM)

两边同时除以iririr得

−k∗r−1≡ii−1(mod  M)∴ii−1=−k∗r−1mod  M-k*r^{-1} \equiv i^{i-1} \left(\mod M\right) \\
\therefore i^{i-1}=-k*r^{-1} \mod M −k∗r−1≡ii−1(modM)∴ii−1=−k∗r−1modM

即

i−1=(M−⌊Mi⌋)(Mmod  i)−1mod  Mi^{-1}=\left(M-\lfloor\frac{M}{i}\rfloor\right)\left(M\mod i\right)^{-1}\mod Mi−1=(M−⌊iM​⌋)(Mmodi)−1modM