清北学堂—2020.1提高储备营—Day 1 morning（模拟、枚举、搜索）

qbxt Day 1 morning

——2020.1.17 济南 主讲：李佳实

目录一览

1.模拟和枚举
2.基础搜索算法（DFS、BFS、记忆化搜索）以及进阶搜索算法（纯靠自学）

总知识点：基础算法

一、模拟和枚举

1.算法描述：模拟，顾名思义就是按照题目的要求，它让你做什么，按照要求做。
2.例题一览：
(1)【算法：枚举】寻找三位数
题目描述：
将1， 2， …， 9共9个数分成三组，分别组成三个三位数，且使这三个三位数构成1： 2： 3的比例，试求出所有满足条件的三位数。

分析：
首先我们会轻易的想到可以直接暴力枚举这三位，不过这种做法显然会超时。我们不妨转变一下思路，直接枚举这个三位数，可是如果从100到999的话，也显然会超时，而题中还有一个条件“三个”三位数，那我们就可以把1000平均分开，枚举一部分，降低时间复杂度。1000/3约等于333，循环就从100-333循环，而我们根据这一倍的量，计算出2倍、3倍，再判断有没有重复的数字。这道题就完美的解决了。

代码：(C++版）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 1000
#define M 1000
using namespace std;
int time[10];
void get(int x){
    time[x%10]++;
    time[x/10%10]++;
    time[x/100]++;
}
int main(){
    for(int i=100;i<=333;i++){
        int x=i,y=i*2,z=i*3;
        memset(time,0,sizeof(time));
        get(x);
        get(y);
        get(z);
        bool flag=true;
        for(int j=1;j<=9;j++) if(time[j]!=1) flag=false;
        if(flag){
            cout<<x<<' '<<y<<' '<<z<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

(2)【算法：模拟】河伯阵型
题目描述：

分析：没什么好说的，按照题要求的做就是了。

代码：

二、搜索

1.深度优先搜索（DFS）
（1）算法描述：对于任意的一个图，有一点x，我们寻找与它连通的所有深度更深的点y（若没有，回到上一个点）。若y被访问过，回到x。反之，访问y。如此循环往复。
（2）特征：若x被访问过，则x的父节点也一定被访问过。每条边至多被访问2次，每个点至多被访问一次。
（3）代码框架：

inline void dfs(int x){
    int i;
    vis[x]=1;
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(mp[x][i]&&!vis[i]){
            dfs(i);
        }
    }
}

(4)使用DFS枚举已知集合的所有子集状态
分析：对于一个元素a[i]，我们有两种选择：选or不选。于是我们DFS求出来的树同时是一棵二叉树。先沿着选的方向到底，在一步步回溯，直到遍历结束。
代码：

inline void dfs(int x){
    if(x>n){
        //得到了一个子集
        return ;
    }
    s[++tot]=a[x];
    dfs(x+1);
    tot--;
    dfs(x+1);
}

（5）DFS枚举1~n的全排列
分析：见代码
代码：

inline void dfs(int x){
    if(x>n){
        //得到了一个排列
        return ;
    }
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(!used[i]){   //没有使用过
            p[x]=i;
            used[i]=1;  //标记使用
            dfs(x+1);
            used[i]=0;  //清空，准备下一步
        }
    }
}

(6）DFS判断图中有无环
分析：判断环我们只要判断图中有无返祖边（后向边）即可。返祖边：两点u，v，且u->v。vis[v] = 1,说明v已经被访问，但其子孙后代还没有被访问完。而u又指向说明u就是v的子孙后代，u->v是一条后向边（返祖边）。

2.广度优先搜索（BFS）
（1）工具：队列
（2）思想：弹出队列的队头，把图中元素加到队尾。
（3）代码：

void bfs(){
    q[tl++]=s;
    while(hd!=tl){
        x=q[hd++];  //弹队头
        for(i=1;i<=n;i++){
            if(mp[x][i]&&!vis[i]){  //连通且没被访问
                q[tl++]=i;  //加队尾
                vis[i]=1;   //标记访问
            }
        }
    }
}

3.记忆化搜索（DFS优化）
（1）算法分析：省去了重复的部分，使其变的更优。
（2）代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 1000
#define M 1000
using namespace std;
int n,m;
int u,v,c;
int s,to[M],l[M],ne[M],pre[N];
void add(int u,int v,int c)     //加边函数,邻接表存储
{
    to[++s]=v;
    l[s]=c;
    ne[s]=pre[u];
    pre[u]=s;
}
int f[N];
bool vi[N];
int cal(int k)
{
    if(vi[k]) return f[k];
    vi[k]=true;
    for(int i=pre[k];i;i=ne[i])
    {
        int x=to[i];
        f[k]=max(f[k],cal(x)+l[i]);
    }
    return f[k];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    while(m--)
    {
        cin>>u>>v>>c;
        add(u,v,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<i<<' '<<cal(i)<<endl;
    return 0;
}

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