BZOJ4522:[CQOI2016]密钥破解(Pollard-Rho,exgcd)

Description

一种非对称加密算法的密钥生成过程如下：
1. 任选两个不同的质数 p ，q
2. 计算 N=pq , r=(p-1)(q-1)
3. 选取小于r ，且与 r 互质的整数 e 
4. 计算整数 d ，使得 ed≡1 mod r
5. 二元组 (N,e) 称为公钥，二元组 (N,d) 称为私钥

当需要加密消息 n 时（假设 n 是一个小于 N 整数，因为任何格式的消息都可转为整数表示），使用公钥 (N,e)，按照

n^e≡c mod N 运算，可得到密文 c 。

对密文 c 解密时，用私钥 (N,d) ，按照c^d≡n mod N 运算，可得到原文 n 。

 

算法正确性证明省略。

由于用公钥加密的密文仅能用对应的私钥解密，而不能用公钥解密，因此称为非对称加密算法。通常情况下，公钥由消息的接收方公开，而私钥由消息的接收方自己持有。这样任何发送消息的人都可以用公钥对消息加密，而只有消息的接收方自己能够解密消息。

现在，你的任务是寻找一种可行的方法来破解这种加密算法，即根据公钥破解出私钥，并据此解密密文。

Input

输入文件内容只有一行，为空格分隔的j个正整数e,N,c。N<=2^62,c<N

Output

输出文件内容只有一行，为空格分隔的k个整数d,n。

Sample Input

3 187 45

Sample Output

107 12
//样例中 p = 11, q = 17

Solution

一开始被题意吓到了……

其实仔细捋一下，就按如下步骤就完了。

因为有$N$，所以可以$Pollard-Rho$求出来$p$和$q$。

求出来$p$和$q$，就可以求出来$r$。

求出来$r$，就可以$exgcd$解出来$d$.

求出来$d$，就可以用快速幂求出来$n$。

然后这题就没了……

Code

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define LL long long
 using namespace std;

 LL T,maxn,x;
 LL prime[]={,,,,,,,,};

 LL Mul(LL a,LL b,LL MOD)
 {
     LL tmp=a*b-(LL)((long double)a*b/MOD+0.1)*MOD;
     return tmp<?tmp+MOD:tmp;
 }

 LL Qpow(LL a,LL b,LL MOD)
 {
     LL ans=;
     while (b)
     {
         if (b&) ans=Mul(ans,a,MOD);
         a=Mul(a,a,MOD); b>>=;
     }
     return ans;
 }

 LL gcd(LL a,LL b) {return b==?a:gcd(b,a%b);}

 bool Miller_Rabin(LL n)
 {
     if (n==) return ;
     if (n< || n%==) return ;
     LL m=n-,l=;
     while (m%==) ++l, m>>=;
     for (int i=; i<; ++i)
     {
         LL p=prime[i],w=Qpow(p,m,n);
         if (w== || w==n- || p==n) continue;
         for (int j=; j<=l; ++j)
         {
             LL u=Mul(w,w,n);
             if (u== && w!= && w!=n-) return ;
             w=u;
         }
         if (w!=) return ;
     }
     return ;
 }

 LL Pollard_Rho(LL n,LL c)
 {
     LL x=rand()%n,y=x,p=,k=;
     for (LL i=; p==; ++i)
     {
         x=(Mul(x,x,n)+c)%n;
         p=x>y?x-y:y-x;
         p=gcd(p,n);
         if (i==k) y=x,k+=k;
     }
     return p;
 }

 void Solve(LL n)
 {
     if (n==) return;
     if (Miller_Rabin(n)) {maxn=max(maxn,n); return;}
     LL t=n;
     while (t==n) t=Pollard_Rho(n,rand()%(n-)+);
     Solve(t); Solve(n/t);
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld",&T);
     while (T--)
     {
         scanf("%lld",&x);
         maxn=;
         Solve(x);
         if (maxn==x) puts("Prime");
         else printf("%lld\n",maxn);
     }
 }