[2016北京集训试题15]项链-[FFT]

Description

Solution

设y[i+k]=y[i]+n。

由于我们要最优解，则假如将x[i]和y[σ[i]]连线的话，线是一定不会交叉的。

所以，$ans=\sum (x_{i}-y_{i+s}+c)^{2}$

拆开得$ans=\sum (x_{i}^{2}+y_{i+s}^{2}+c^{2}-2x_{i}y_{i+s}+2x_{i}c-2y_{i+s}c)$

其中，$x_{i}y_{i+s}$是卷积形式。

我们把经过处理的y数组reverse一下，和x数组进行卷积(这里用ntt似乎会爆常数，fft大法好)。然后针对不同的s，得到以c为未知数的所有常数或系数，ans就是一个二次函数了。c用公式解就可以。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double pi=acos(-);
struct C
{
    double r,i;
    friend C operator+(C a,C b){return C{a.r+b.r,a.i+b.i};}
    friend C operator*(C a,C b){return C{a.r*b.r-a.i*b.i,a.i*b.r+a.r*b.i};}
    friend C operator-(C a,C b){return C{a.r-b.r,a.i-b.i};}
}fx[],fy[];
int rev[];
void fft(C *num,int n,int dft)
{
    for (int i=;i<n;i++)
        if (i<rev[i]) swap(num[i],num[rev[i]]);
    for (int step=;step<n;step<<=)
    {
        C wn{cos(pi/step),sin(pi/step)*dft};
        for (int j=;j<n;j+=step*)//从0开始！
        {
            C w{,};
            for (int k=;k<step;k++,w=w*wn)
            {
                C x=num[j+k],y=w*num[j+k+step];
                num[j+k]=x+y;
                num[j+k+step]=x-y;
            }
        }
    }
    if (dft==-) for (int i=;i<n;i++) num[i].r/=n;
}
int T,n,k,len,L;
int x[],y[];
ll sumx[],sumy[],sumx2[],sumy2[];
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        memset(sumx,,sizeof(sumx));
        memset(sumy,,sizeof(sumy));
        memset(sumx2,,sizeof(sumx2));
        memset(sumy2,,sizeof(sumy2));
        memset(fx,,sizeof(fx));memset(fy,,sizeof(fy));
        for (int i=;i<=k;i++)
        {
            scanf("%d",&x[i]);
            sumx[i]=sumx[i-]+x[i],sumx2[i]=sumx2[i-]+1ll*x[i]*x[i];
        }
        for (int i=;i<=k;i++)
        {scanf("%d",&y[i]);y[k+i]=y[i]+n;}
        for (int i=;i<=*k;i++)
        sumy[i]=sumy[i-]+y[i],sumy2[i]=sumy2[i-]+1ll*y[i]*y[i];

        for (int i=;i<=k;i++) fx[i-].r=x[i];
        for (int i=,j=*k;j;i++,j--) fy[i].r=y[j];
        len=,L=;
        for (;len<*k;len<<=,L++);
        L++;len<<=;
        for (int i=;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|(i&)<<(L-);
        fft(fx,len,);fft(fy,len,);
        for (int i=;i<len;i++) fx[i]=fx[i]*fy[i];
        fft(fx,len,-);
        ll re,c,b,ans=1e13;
        for (int i=*k-,j=;i>=k;i--,j++)
        {
            re=fx[i].r+0.2;
            re=-*re+sumx2[k]+sumy2[j+k]-sumy2[j];
            b=*(sumx[k]-sumy[j+k]+sumy[j]);
            c=-b/(*k);
            ans=min(ans,k*c*c+c*b+re);
            c++;
            ans=min(ans,k*c*c+c*b+re);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}