[LibreOJ 3124]【CTS2019】氪金手游【容斥原理】【概率】【树形DP】

Description

Solution

首先它的限制关系是一个树形图

首先考虑如果它是一个外向树该怎么做。

这是很简单的，我们相当于每个子树的根都是子树中最早出现的点，概率是容易计算的。

设DP状态\(f[i][j]\)为做到以i为根的子树，子树中权值W的和为j且满足限制关系的概率。

然后就可以直接利用子树背包DP来转移了。

如果有些边是反向（儿子到父亲）的，我们可以通过容斥来把这些边反过来，要么是彻底没有这条边的限制，要么是反向变成父亲到儿子方向，系数乘一个(-1)即可。

具体可以参考代码。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 1005
#define LL long long
#define mo 998244353
using namespace std;
int n,fs[N],nt[2*N],dt[2*N],sz[N],m1;
LL ny[N],ap[N][4],f[N][3*N],pr[2*N],g[3*N],np[3*N];
LL ksm(LL k,LL n)
{
	LL s=1;
	for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
	return s;
}
void link(int x,int y)
{
	nt[++m1]=fs[x];
	dt[fs[x]=m1]=y;
}
void dfs(int k,int fa)
{
	f[k][0]=1;
	for(int i=fs[k];i;i=nt[i])
	{
		int p=dt[i];
		if(p!=fa)
		{
			dfs(p,k);
			fo(x,0,3*sz[k])
				fo(y,1,3*sz[p])
				{
					(g[x+y]+=f[k][x]*f[p][y]%mo*pr[i]%mo)%=mo;
					if(pr[i]==mo-1) (g[x]+=f[k][x]*f[p][y]%mo)%=mo;
				}
			sz[k]+=sz[p];
			fo(j,0,3*sz[k]) f[k][j]=g[j],g[j]=0;
		}
	}
	sz[k]++;
	fod(i,3*sz[k],0)
	{
		f[k][i]=0;
		fo(j,1,3) if(i>=j) (f[k][i]+=f[k][i-j]*ny[k]%mo*ap[k][j]%mo*np[i]%mo*(LL)j%mo)%=mo;
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	fo(i,1,n)
	{
		fo(j,1,3) scanf("%d",&ap[i][j]),ny[i]+=ap[i][j];
		ny[i]=ksm(ny[i]%mo,mo-2);
	}
	fo(i,1,3*n) np[i]=ksm(i,mo-2);
	fo(i,1,n-1)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		link(x,y),link(y,x);
		pr[m1-1]=1,pr[m1]=mo-1;
	}
	dfs(1,0);
	LL ans=0;
	fo(i,1,3*n) (ans+=f[1][i])%=mo;
	printf("%lld\n",ans);
}