ZROI 19.07.29 线性代数入门/wq

1.高斯消元

在模意义下依然有效，对主元求逆即可。

甚至可以模合数，需要对两个方程辗转相除，复杂度\(O(n^3\log p)\)。

辗转相除法只要能定义带余除法就有效。

逆矩阵：对于矩阵\(A\)，定义逆矩阵\(A^{-1}\)为满足\(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=e\)的矩阵。

求逆矩阵可以高斯消元。设有\(A\cdot A^{-1}=e\)的形式，把\(A\)消元成单位矩阵的过程中，对方程右侧进行同样的操作。

应用：设有方程\(A\cdot x=b\)（大写字母为矩阵，小写字母为向量），对于不同的\(b\)多次求解，可以转化为\(x=A^{-1}\cdot A \cdot x=A^{-1}\cdot b\)的形式，避免每次高斯消元。

例题

题意：\(n\)个点的图，有\(k\)个关键点，对每对关键点\((i,j)\)，求出从\(i\)出发随机游走，遇到的第一个关键点是\(j\)的概率。

Sol:

枚举终点\(k\)，设\(f_i\)表示从\(i\)出发，走到的第一个关键点是\(k\)的概率。

对每个关键点设一个只进不出的虚点\(i'\)，只有当前枚举的终点的\(f_{k'}=1\)，其余为\(0\)。

然后发现每次高斯消元的不同点只有常数项，那么把常数项看作一个向量，每一维代表终点为\(k\)时该行的对应系数。这样直接消元就行了。

行列式

一个结论：设有两个矩阵\(A,B\)，则\(det(A\cdot B)=det(A)det(B)\)。

算三角形面积常用的叉积，本质是一个行列式。

可以扩展到\(d\)维空间，用行列式计算体积。

另一个结论：设有\(d\)个变量，均满足\(x_i \leq 0\)，且\(\sum x_i\leq s\)，点\((x_1,x_2,…,x_d)\)构成的集合的体积\(=\frac{S^d}{d!}\)。（相当于\(d\)个只有一维是\(S\)的向量的积的行列式）

例题

题意：给\(n-1\)维空间下\(n+1\)个点，保证每个点的每一维坐标\(\in \{0,1\}\)，求凸包体积。

Sol:

首先题意保证了每个点都不会在凸包的内部。

如果只有\(n\)个点，可以直接解行列式求体积。

现在转化到\(n+1\)个点，发现把每个大小为\(n\)的点集的凸包体积求和后，每个点被算了两次。

证明？咕咕咕。

注意由于叉积有方向，最后要取绝对值，计算的时候不能取模，需要求出精确值。

矩阵树定理

构造：主对角线为每个点的度数，其余的位置有边则为\(-1\)，否则为\(0\)。去掉~~头可以吃~~一行一列后求行列式即为生成树个数。

证明？咕咕咕。

有向图的有根树形图计数：令\(g_{i,i}\)为\(i\)的入度，\(g_{i,j}\)为\(i\)到\(j\)的边数的相反数，则以\(i\)为根的图个数即为去掉第\(i\)行第\(i\)列的行列式。

推论（BEST定理）：\(n\)个点有向图，其欧拉回路的个数为以任意一点为根的树形图个数\(\times \sum (dgr_i-1)!\)。

证明？咕咕咕。

例题：

题意：\(n\)个点，\(\{n-1,n\}\)条边的图，每条边重复\(t_i\)次，求欧拉回路个数。\(n, t_i \leq 1000\)。

Sol:

发现对每条边定向之后就可以用BEST定理算出欧拉回路个数。

先考虑\(n-1\)条边的图，显然每条边两个方向都是\(\frac{t_i}{2}\)次，随便定向之后用BEST定理即可。

扩展到\(n\)条边之后，对于森林部分是相同的解法，主要问题在于环上的边
方向不确定。但是发现枚举任意两个点之间各方向边数，即可\(O(n)\)推出环上其他点之间边数。

树形图个数可以手算，因为一定是环上某个位置切断，维护两个方向的前缀积即可，复杂度\(O(nt)\)。

带状矩阵

定义：所有非\(0\)元素都在主对角线周围不超过\(d\)的距离内。

高斯消元时，每次只需要用长为\(d\)的向量消\(d\)行，复杂度\(O(nd^2)\)。

换主元的时候不能向下换一行，否则会破坏性质。

可以向右找一列换（相当于交换了两个变量顺序）。

用途：网格图随机游走等。

例题：

一开始在\((0,0)\)，每次随机一个方向走（四个方向概率可能不同），问距原点欧几里得距离超过\(R\)的期望步数。\(R \leq 50\)。

Sol:

很板。把需要的点都拉出来，拍扁之后就是带状矩阵，直接解，复杂度\(O(R^4)\)。

主元法

对于很多网格问题，发现如果确定一行（或一列），那么整个网格的状态都可以递推出来。

那么把第一行的状态设为未知数，可以在\(O(n^2m)\)的时间内把每个格子的状态表示为第一行状态的线性组合。在最后一行往往可以列出方程，高斯消元即可。

对于上面的例题，可以把每一行最左边的点状态设为未知数，在最右边列出方程（因为再往右都是\(0\)），可以做到\(O(R^3)\)。

~~突然发现dls讲了一个半小时的高斯消元~~

2.线性空间

线性空间定义在数域上，满足对加减法和数乘是封闭的。（虽然并没有什么用）

基的定义跟数学上那一套没啥区别，~~详情请参阅必修四~~。

模\(p\)意义下，如果维数是\(d\)，那么共有\(p^d\)个元素（大概可以理解为一个\(d\)维向量）。

例题（1）

题意：一个序列，支持末尾加数，询问区间中若干数xor最大值。\(n, q \leq 5e5, a_i \leq 2^{30}-1\)。

Sol:

考虑离线，扫描线维护一个线性基。线性基内每个元素维护一个加入时间（因为是扫描线，所以其实就是位置），每次加入新元素的时候，如果某个位置已有元素，则保留位置较右的那个，另一个递归下去。

每次询问的时候只需要找出加入时间大于左端点的元素即可。（跟山东省集的某道题很像）

例题（2）

有一个\(n\times m\)的矩阵，要求选若干个数，使每行每列均有奇数个，且乘积为完全平方数，求方案数。\(n,m \leq 20, a_{i,j}\leq 10^9\)。

对每行、每列和每个质因子列异或方程组，解出自由元个数即可。

伴随矩阵

定义：设矩阵\(adj(A)\)，使得\(adj(A)_{i,j}=c_{j,i}\)，即矩阵\(A\)去掉第\(j\)行\(i\)列的代数余子式。

性质：\(A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=det(A)\cdot I\)

证明：掉线了，咕咕咕。

上面那个性质的作用？大概是可以通过矩阵求逆算伴随矩阵……

不可逆咋办？能做，但是我又掉线了……

Tutte Matrix

黑科技，比带花树靠（hao）谱（xie）多了。

给任意无向图\(G\)的每条边赋一个独一无二的权值\(x_{u,v}\)，不存在则为\(0\)，定义矩阵\(A\)的Tutte Matrix为矩阵\(B\)，则\(B_{i,j}=x_{i,j}\cdot (-1)^{[i>j]}\)。

\(G\)有完美匹配，当且仅当\(det(B)\not=0\)。

为什么？不知道。

\(B^{-1}~_{i,j}\not=0\)当且仅当\(G-(i,j)\)有完美匹配。

为什么？不知道。

能干什么？可以处理一些相关的计数问题，大概。

\(G\)的最大匹配\(=\frac{rank(B)}{2}\)。

为什么？不知道。

少女掉线中……

3.特征多项式

~~定义到处都有就不抄了~~

矩阵对角化：

设\(A\)的特征向量为\(\{x_1,x_2,…x_n\}\)，对应的特征值为\(\{\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n \}\)，矩阵\(P=[x_1,x_2,…,x_n]\)，对角矩阵\(D=\{\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n \}\)，则\(A\cdot P=P\cdot D\)。

用处：\(A=P\cdot D \cdot P^{-1}\)，则\(A^k=P\cdot D^k \cdot P^{-1}\)，然后对角矩阵的\(k\)次很好算……

然而局限性很大，基本只能手推。

~~dls推了个题，我掉线了。~~

哈密尔顿-凯莱定理：

把一个矩阵代入到它的特征多项式的方程里是成立的。

~~然后就又掉线了。~~

反正这东西唯一的作用就是\(O(k\log k\log n)\)内解决\(k\)阶线性递推，还是左转洛谷模板区吧（