ZROI 19.07.29 线性代数入门/wq

1.高斯消元

在模意义下依然有效，对主元求逆即可。

甚至可以模合数，需要对两个方程辗转相除，复杂度$O(n^3\log p)$。

辗转相除法只要能定义带余除法就有效。

逆矩阵：对于矩阵$A$，定义逆矩阵$A^{-1}$为满足$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=e$的矩阵。

求逆矩阵可以高斯消元。设有$A\cdot A^{-1}=e$的形式，把$A$消元成单位矩阵的过程中，对方程右侧进行同样的操作。

应用：设有方程$A\cdot x=b$（大写字母为矩阵，小写字母为向量），对于不同的$b$多次求解，可以转化为$x=A^{-1}\cdot A \cdot x=A^{-1}\cdot b$的形式，避免每次高斯消元。

例题

题意：$n$个点的图，有$k$个关键点，对每对关键点$(i,j)$，求出从$i$出发随机游走，遇到的第一个关键点是$j$的概率。

Sol:

枚举终点$k$，设$f_i$表示从$i$出发，走到的第一个关键点是$k$的概率。

对每个关键点设一个只进不出的虚点$i'$，只有当前枚举的终点的$f_{k'}=1$，其余为$0$。

然后发现每次高斯消元的不同点只有常数项，那么把常数项看作一个向量，每一维代表终点为$k$时该行的对应系数。这样直接消元就行了。

行列式

一个结论：设有两个矩阵$A,B$，则$det(A\cdot B)=det(A)det(B)$。

算三角形面积常用的叉积，本质是一个行列式。

可以扩展到$d$维空间，用行列式计算体积。

另一个结论：设有$d$个变量，均满足$x_i \leq 0$，且$\sum x_i\leq s$，点$(x_1,x_2,…,x_d)$构成的集合的体积$=\frac{S^d}{d!}$。（相当于$d$个只有一维是$S$的向量的积的行列式）

例题

题意：给$n-1$维空间下$n+1$个点，保证每个点的每一维坐标$\in \{0,1\}$，求凸包体积。

Sol:

首先题意保证了每个点都不会在凸包的内部。

如果只有$n$个点，可以直接解行列式求体积。

现在转化到$n+1$个点，发现把每个大小为$n$的点集的凸包体积求和后，每个点被算了两次。

证明？咕咕咕。

注意由于叉积有方向，最后要取绝对值，计算的时候不能取模，需要求出精确值。

矩阵树定理

构造：主对角线为每个点的度数，其余的位置有边则为$-1$，否则为$0$。去掉~~头可以吃~~一行一列后求行列式即为生成树个数。

证明？咕咕咕。

有向图的有根树形图计数：令$g_{i,i}$为$i$的入度，$g_{i,j}$为$i$到$j$的边数的相反数，则以$i$为根的图个数即为去掉第$i$行第$i$列的行列式。

推论（BEST定理）：$n$个点有向图，其欧拉回路的个数为以任意一点为根的树形图个数$\times \sum (dgr_i-1)!$。

证明？咕咕咕。

例题：

题意：$n$个点，$\{n-1,n\}$条边的图，每条边重复$t_i$次，求欧拉回路个数。$n, t_i \leq 1000$。

Sol:

发现对每条边定向之后就可以用BEST定理算出欧拉回路个数。

先考虑$n-1$条边的图，显然每条边两个方向都是$\frac{t_i}{2}$次，随便定向之后用BEST定理即可。

扩展到$n$条边之后，对于森林部分是相同的解法，主要问题在于环上的边
方向不确定。但是发现枚举任意两个点之间各方向边数，即可$O(n)$推出环上其他点之间边数。

树形图个数可以手算，因为一定是环上某个位置切断，维护两个方向的前缀积即可，复杂度$O(nt)$。

带状矩阵

定义：所有非$0$元素都在主对角线周围不超过$d$的距离内。

高斯消元时，每次只需要用长为$d$的向量消$d$行，复杂度$O(nd^2)$。

换主元的时候不能向下换一行，否则会破坏性质。

可以向右找一列换（相当于交换了两个变量顺序）。

用途：网格图随机游走等。

例题：

一开始在$(0,0)$，每次随机一个方向走（四个方向概率可能不同），问距原点欧几里得距离超过$R$的期望步数。$R \leq 50$。

Sol:

很板。把需要的点都拉出来，拍扁之后就是带状矩阵，直接解，复杂度$O(R^4)$。

主元法

对于很多网格问题，发现如果确定一行（或一列），那么整个网格的状态都可以递推出来。

那么把第一行的状态设为未知数，可以在$O(n^2m)$的时间内把每个格子的状态表示为第一行状态的线性组合。在最后一行往往可以列出方程，高斯消元即可。

对于上面的例题，可以把每一行最左边的点状态设为未知数，在最右边列出方程（因为再往右都是$0$），可以做到$O(R^3)$。

~~突然发现dls讲了一个半小时的高斯消元~~

2.线性空间

线性空间定义在数域上，满足对加减法和数乘是封闭的。（虽然并没有什么用）

基的定义跟数学上那一套没啥区别，~~详情请参阅必修四~~。

模$p$意义下，如果维数是$d$，那么共有$p^d$个元素（大概可以理解为一个$d$维向量）。

例题（1）

题意：一个序列，支持末尾加数，询问区间中若干数xor最大值。$n, q \leq 5e5, a_i \leq 2^{30}-1$。

Sol:

考虑离线，扫描线维护一个线性基。线性基内每个元素维护一个加入时间（因为是扫描线，所以其实就是位置），每次加入新元素的时候，如果某个位置已有元素，则保留位置较右的那个，另一个递归下去。

每次询问的时候只需要找出加入时间大于左端点的元素即可。（跟山东省集的某道题很像）

例题（2）

有一个$n\times m$的矩阵，要求选若干个数，使每行每列均有奇数个，且乘积为完全平方数，求方案数。$n,m \leq 20, a_{i,j}\leq 10^9$。

对每行、每列和每个质因子列异或方程组，解出自由元个数即可。

伴随矩阵

定义：设矩阵$adj(A)$，使得$adj(A)_{i,j}=c_{j,i}$，即矩阵$A$去掉第$j$行$i$列的代数余子式。

性质：$A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=det(A)\cdot I$

证明：掉线了，咕咕咕。

上面那个性质的作用？大概是可以通过矩阵求逆算伴随矩阵……

不可逆咋办？能做，但是我又掉线了……

Tutte Matrix

黑科技，比带花树靠（hao）谱（xie）多了。

给任意无向图$G$的每条边赋一个独一无二的权值$x_{u,v}$，不存在则为$0$，定义矩阵$A$的Tutte Matrix为矩阵$B$，则$B_{i,j}=x_{i,j}\cdot (-1)^{[i>j]}$。

$G$有完美匹配，当且仅当$det(B)\not=0$。

为什么？不知道。

$B^{-1}~_{i,j}\not=0$当且仅当$G-(i,j)$有完美匹配。

为什么？不知道。

能干什么？可以处理一些相关的计数问题，大概。

$G$的最大匹配$=\frac{rank(B)}{2}$。

为什么？不知道。

少女掉线中……

3.特征多项式

~~定义到处都有就不抄了~~

矩阵对角化：

设$A$的特征向量为$\{x_1,x_2,…x_n\}$，对应的特征值为$\{\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n \}$，矩阵$P=[x_1,x_2,…,x_n]$，对角矩阵$D=\{\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n \}$，则$A\cdot P=P\cdot D$。

用处：$A=P\cdot D \cdot P^{-1}$，则$A^k=P\cdot D^k \cdot P^{-1}$，然后对角矩阵的$k$次很好算……

然而局限性很大，基本只能手推。

~~dls推了个题，我掉线了。~~

哈密尔顿-凯莱定理：

把一个矩阵代入到它的特征多项式的方程里是成立的。

~~然后就又掉线了。~~

反正这东西唯一的作用就是$O(k\log k\log n)$内解决$k$阶线性递推，还是左转洛谷模板区吧（