做完之后看了看题解,怎么一篇和我思路一样的也没有...我好慌啊qwq(所以一定是窝太弱了看不懂dalao的思路)

好吧窝的方法确实很奇怪:

核心代码只有3行 输入 循环 输出 一气呵成 是题解中的豪杰

最重要的是

没有组合数 没有容斥 没有斜率 没有向量 DA☆ZE

(只有我们的好朋友gcd


咳咳 那么开始正题(敲黑板)

首先,我们定义一个网格被一个三角形完全覆盖,当且仅当这个三角形的三个顶点都在网格边界上,并且沿着网格内部任意一条线段把网格切开,一定会把三角形切成两部分。比如下面的例子就是一个完全覆盖(渣鼠绘):

但是这个就不是:(因为沿红色竖线切开,并不能切到三角形)

那么我们发现:

  • 每个顶点都在格点上的三角形,有且只有一个可以被它完全覆盖的网格。所以只要求出原矩形当中所有子矩形的完全覆盖三角形的数量,就可以不重不漏地找出顶点都在格点上的三角形。

——但是子矩形好多啊,枚举左上角和右下角,至少是\(n^2m^2\)的数量级哇qwq

——[恋符]MasterSpark.gif 注意到我们并不关心每个子矩形的位置,而只关心它们的长宽,以及长宽均相同的矩形的数目,所以枚举子矩形的长 \(i\) 和宽 \(j\),则\(i*j\)的矩形数量为\((n-i+1)*(m-j+1)\),子矩阵数量级降为\(nm\)。

至此,原问题转化为 

**给定网格的长宽,迅速求解完全覆盖网格的三角形的数目**

继续观察,我们发现:

  • 如果某个三角形(暂且称之为\(ABC\))完全覆盖了某个网格(\(MNPQ\)),\(ABC\)一定有至少一个顶点在\(MNPQ\)的角上。

首先分析只有一个顶点在\(MNPQ\)角上的情况。不妨设\(A\)点与\(M\)点重合,为了使\(ABC\)完全覆盖\(MNPQ\),\(B\)和\(C\)必须分别在\(NP\)和\(PQ\)边上(如下图):

显然对于一个\(i*j\)的网格(这里\(i\) \(j\)指的是空格的数量而非格点,上图\(i=6,j=10\)),固定顶点的位置有四种,每种对应的另外两个顶点的位置有\((i-1)*(j-1)\)种(\(B\) \(C\)不能与\(N\) \(P\) \(Q\)重合),共\(4*(i-1)*(j-1)\)种。

分析两个顶点在\(MNPQ\)角上的情况。不妨设\(A\)与\(M\)重合。此时另外一个角上的点(不妨设为点\(B\))有三种情况:

1、\(B\)与\(N\)重合。此时\(C\)一定在\(QP\)上。共\((i-1)\)种情况。

2、\(B\)与\(Q\)重合。此时\(C\)一定在\(NP\)上。共\((j-1)\)种情况。

3、\(B\)与\(P\)重合。

这是比较麻烦的一种状态,因为此时\(C\)点可以在网格中能构成三角形的任意一处。但是我们注意到,如果线段\(AB\)除了经过\(M\) \(P\)之外,还经过了一些其他格点,\(C\)是不能与它们重合的。

那么有多少个格点被\(AB\)穿过呢qwq?

显然,不包括\(AB\)本身,有\(gcd(i,j)-1\)个(至于为什么,请读者自己思考(明明就是你自己也不会证吧kora

所以第三种情况的方案数是\((i+1)*(j+1)-4-gcd(i,j)+1\)(这里\(-4\)是因为C点不能放在网格的四个角上)。

注意到以上三种情况都可以反转,从而得到另一组与其一一对应的方案。

分析三个顶点在\(MNPQ\)角上的情况。显然只有四种。

综上,对于一个长宽为\(i,j\)的网格,可以把它完全覆盖的三角形的个数

\(S=4*(i-1)*(j-1)+2*[(i-1)+(j-1)+(i+1)*(j+1)-4-gcd(i,j)+1]+4\)

\(=6*i*j-2*gcd(i,j)\)

枚举子矩阵的复杂度为\(mn\),单次求解\(gcd\)的复杂度为\(log(m+n)\),总复杂度\(O(mnlog(m+n))\),实际运行跑的飞起。

下面是AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define R register
#define ll long long
using namespace std; int getgcd(int a, int b)
{
if (!b) return a;
return getgcd(b, a % b);
} int main()
{
ll n, m, ans = 0;
cin >> n >> m;
for (R int i = 1; i <= n; ++i)
for (R int j = 1; j <= m; ++j)
ans += (n - i + 1) * (m - j + 1) * (6 * i * j - 2 * getgcd(i, j));
cout << ans;
return 0;
}

那么这篇文章就到这里,希望对您能有帮助。ありがとナスます~

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