[CSP-S模拟测试]:gcd（莫比乌斯反演）

题目描述

有$n$个正整数$x_1\sim x_n$，初始时状态均为未选。有$m$个操作，每个操作给定一个编号$i$，将$x_i$的选取状态取反。每次操作后，你需要求出选取的数中有多少个互质的无序数对。

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输入格式

第一行两个整数$n,m$。第二行$n$个整数$x_1\sim x_n$。接下来$m$行每行一个整数。

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输出格式

$m$行，每行一个整数表示答案。

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样例

样例输入：

4 5
1 2 3 4
1
2
3
4
1

样例输出：

0
1
3
5
2

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数据范围与提示

对于$20\%$的数据，$n,m\leqslant 1,000$。
对于另外$30\%$的数据，$x_i\leqslant 100$。
对于$100\%$的数据，$n,m\leqslant 200,000$，$x_i\leqslant 500,000$，$1\leqslant i\leqslant n$。

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题解

我们先来设三个量：

　　$\alpha.s(i)$表示为$i$的倍数的数的个数。

　　$\beta.g(i)$表示 $gcd$为$i$的倍数的数个数。

　　$\gamma.f(i)$表示$gcd$为$i$的数的个数。

$s(i)$很好就能求出，而$g(i)=\frac{s(i)\times (s(i)-1))}{2}$，但是我们需要的是$f(i)$，该怎么办呢？

显然，$g(i)=\sum \limits_{i|d}f(d)$，那有又什么用呢？

这里就需要用到一个神奇的东东了：第二类莫比乌斯反演（详见信息学奥赛之数学一本通P145中间）。

于是这个式子便变成了：$f(i)=\sum \limits_{i|d}\mu(\frac{d}{i})g(d)$。

现在我们需要考虑的就只有修改操作了，每次插入或删除一个数的时候只要暴力枚举其因数即可。

时间复杂度：$\Theta(m\sqrt{\max x_i})$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
long long a[200001];
long long s[500001],g[500001],f[500001];
long long mu[500001],prime[500001],cnt;
bool vis[200001],v[500001];
long long ans,mx;
void pre_work()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=mx;i++)
	{
		if(!v[i])mu[prime[cnt++]=i]=-1;
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=mx;j++)
		{
			v[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else{mu[i*prime[j]]=0;break;}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]),mx=max(mx,a[i]);
	pre_work();
	while(m--)
	{
		int x,flag;
		scanf("%d",&x);
		flag=a[x];
		if(vis[x])
		{
			for(int i=1;i*i<=flag;i++)
				if(!(flag%i))
				{
					s[i]--;
					ans-=mu[i]*g[i];
					g[i]=s[i]*(s[i]-1)/2;
					ans+=mu[i]*g[i];
					if(flag/i!=i)
					{
						s[flag/i]--;
						ans-=mu[flag/i]*g[flag/i];
						g[flag/i]=s[flag/i]*(s[flag/i]-1)/2;
						ans+=mu[flag/i]*g[flag/i];
					}
				}
			vis[x]=0;
		}
		else
		{
			for(int i=1;i*i<=flag;i++)
				if(!(flag%i))
				{
					s[i]++;
					ans-=mu[i]*g[i];
					g[i]=s[i]*(s[i]-1)/2;
					ans+=mu[i]*g[i];
					if(flag/i!=i)
					{
						s[flag/i]++;
						ans-=mu[flag/i]*g[flag/i];
						g[flag/i]=s[flag/i]*(s[flag/i]-1)/2;
						ans+=mu[flag/i]*g[flag/i];
					}
				}
			vis[x]=1;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

---

rp++