LG2375 [NOI2014]动物园
动物园
给定一个长为\(L\)的字符串(\(L \leq 1e6\))
求一个\(num\)数组,\(num[i]\)表示长度为\(i\)的前缀中字符串\(S’\)的数量,其中\(S‘\)既是该前缀的前缀也是该前缀的后缀,且\(2|S'| \leq i\)
分析
用kmp算法,\(num[i]\)其实就是\(i\)在\(f\)中跳,值小于\(i/2\)的个数。然而直接这样求是\(O(n^2)\)的,因为可以造一个全a串,然后\(f\)都是前一个\(f\)加\(1\).
kmp的精髓是继承,那这道题可否继承?显然可以。
对于\(i\)位置满足条件的\(S’\),\(i+1\)位置满足条件的\(S’’\)其实是在S’的基础上至多多了一个字符。
先求出不加限制的\(num\)数组,注意到对于\(i\)它的\(num\)至少为\(1\)因为要考虑它本身。然后\(num[0]\)要赋成0,因为后面计算的时候转移到0肯定是无法匹配,值应该为\(1\),并且\(num[0]\)是肯定不会算入答案的。然后求答案时维护\(j\)不超过\(i\)的一半就行了。
时间复杂度\(O(n)\)。
har s[1000010];
int f[1000010];
int num[1000010];
int main()
{
int T;
read(T);
while(T--)
{
scanf("%s",s);
int n=strlen(s);
f[0]=0,f[1]=0;
num[0]=0,num[1]=1; // 不加限制的num数组
int j=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
while(j&&s[i]!=s[j])
j=f[j];
j+=(s[i]==s[j]);
f[i+1]=j,num[i+1]=num[j]+1; // 值要加1是因为它本身也要计算
}
j=0;
int ans=1;
for(int i=0;i<n;++i)
{
while(j&&s[i]!=s[j])
j=f[j];
j+=(s[i]==s[j]);
while((j<<1)>(i+1))
j=f[j];
ans=(ll)ans*(num[j]+1)%mod;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Hint
其实我觉得这样写虽然很简洁,但是细节较多,不推荐。推荐另一种倍增的写法,把fail数组加一个倍增,这样更直观,但是时间复杂度\(O(n\log n)\).
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