TrickGCD

Time Limit: 5000/2500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2649    Accepted Submission(s): 1007

Problem Description
You are given an array A , and Zhu wants to know there are how many different array B satisfy the following conditions?

* 1≤Bi≤Ai
* For each pair( l , r ) (1≤l≤r≤n) , gcd(bl,bl+1...br)≥2

 
Input
The first line is an integer T(1≤T≤10) describe the number of test cases.

Each test case begins with an integer number n describe the size of array A.

Then a line contains n numbers describe each element of A

You can assume that 1≤n,Ai≤105

 
Output
For the kth test case , first output "Case #k: " , then output an integer as answer in a single line . because the answer may be large , so you are only need to output answer mod 109+7
Sample Input
1
4
4 4 4 4
 
Sample Output
Case #1: 17
 
 
Source
 
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看范围就知道要去枚举gcd,对于每个gcd,在a[i]这个位置上有gcd/a[i]个数能满足条件构成b[i],只要把每个位置求出来累乘就好了,但是这个过程还需要优化。

优化可以用素数筛法类似的方式,把gcd/a[i]相同的数都一起处理,这样在用一个快速幂把相同的那些情况数算出来,时间复杂度就是n*logn*logn。

但是答案显然会有重复,赛时就是这个问题不会解决然后gg。

dp[i]表示 gcd=i 时求出的符合情况数,显然它包含了 i 的倍数对应的情况,我们需要把这些数减去,但是倍数的情况显然也有重复,比较复杂。

这个过程我们可以倒过来从上界往下去容斥,这样每次对于num[i]来说,它的倍数的情况都是已经处理好了的,只要依次减去倍数的情况了,其实相当于一个dp的过程。。

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std; const long long mod=1e9+;
int sum[],a[];
long long dp[]; int n,T,k;
long long poww(long long a, long long b)
{
long long ans=;
while(b)
{
if (b&) ans=(ans*a)%mod;
b>>=;
a=(a*a)%mod;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
for(int cas=;cas<=T;cas++)
{
memset(sum,,sizeof(sum)); scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[a[i]]++;
}
for(int i=;i<=1e5;i++) sum[i]+=sum[i-]; for(int i=;i<=1e5;i++) // gcd=i
{
dp[i]=;
for(int j=;j<=1e5;j+=i)
{
if (j+i->) k=sum[]-sum[j-];
else if (j==) k=sum[+i-];
else k=sum[j+i-]-sum[j-]; //k表示a序列中,数字范围在[j,j+i-1]的个数,分段
int knum=j/i; // 该范围的数字,对于gcd=i的倍数的个数相同 if (knum== && k>) dp[i]=; //如果这范围的数字存在,但是,要gcd==i没有数字可选,那么这个gcd无解,不存在可行解
else dp[i]=(dp[i]*poww(knum,k))%mod;
}
} for(int i=1e5;i>=;i--)
for(int j=i+i;j<=1e5;j+=i)
{
dp[i]-=dp[j];
dp[i]=(dp[i]+mod)%mod;
}
long long ans=;
for(int i=;i<=1e5;i++)
ans=(ans+dp[i])%mod;
printf("Case #%d: %lld\n",cas,ans);
}
return ;
}

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