洛谷P3803 【模板】多项式乘法 [NTT]
多项式乘法
题目描述
给定一个n次多项式F(x),和一个m次多项式G(x)。
请求出F(x)和G(x)的卷积。
输入输出格式
输入格式:
第一行2个正整数n,m。
接下来一行n+1个数字,从低到高表示F(x)的系数。
接下来一行m+1个数字,从低到高表示G(x))的系数。
输出格式:
一行n+m+1个数字,从低到高表示F(x)∗G(x)的系数。
输入输出样例
1 2
1 2
1 2 1
1 4 5 2
说明
保证输入中的系数大于等于 0 且小于等于9。
对于100%的数据: $n, m \leq {10}^6$ , 共计20个数据点,2s。
数据有一定梯度。
空间限制:256MB
分析:
没错,这是一道FFT模板,于是我们愉快地用NTT把它A了。
平常用的较多的都是FFT,但是FFT使用的是复数,需要开double类型,常数会比较大。但有时候我们需要求的都是整型,那么用NTT(快速数论变换)就可以把常数降低很多。具体实现理论和FFT基本无异,不过我们要把单位根换成原根,因为原根也满足单位根的性质,最后就可得到一个结论:$w_n \equiv g^{\frac {p-1} {n}} \pmod p$。具体的理论推荐这位大佬的博客。(吐槽一句,为什么开了O2之后不管是FFT还是NTT都反而更慢了???难道是我的代码写得太优秀???)
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e6+;
const int mod=;
int n,m,lim,r[N];
int G=,Gi=;
ll a[N],b[N];
inline ll read()
{
char ch=getchar();ll num=;bool flag=false;
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')flag=true;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){num=num*+ch-'';ch=getchar();}
return flag?-num:num;
}
inline void Swap(ll &x,ll &y)
{
x^=y,y^=x,x^=y;
}
inline ll power(ll x,ll y)
{
ll ret=;
while(y){
if(y&)ret=(ret*x)%mod;
y>>=;x=(x*x)%mod;}
return ret;
}
inline void ntt(ll *A,int type)
{
for(int i=;i<lim;i++)
if(i<r[i])Swap(A[i],A[r[i]]);
for(int mid=;mid<lim;mid<<=){
ll wn=power((type==)?G:Gi,(mod-)/(mid<<));
for(int j=;j<lim;j+=(mid<<)){
ll w=;
for(int k=;k<mid;w=(w*wn)%mod,k++){
ll x=A[j+k],y=A[mid+j+k]*w%mod;
A[j+k]=(x+y)%mod;
A[mid+j+k]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=;i<=n;i++)a[i]=(read()+mod)%mod;
for(int i=;i<=m;i++)b[i]=(read()+mod)%mod;
m+=n;n=;
for(lim=;lim<=m;lim<<=)n++;
for(int i=;i<lim;i++)
r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(n-));
ntt(a,);ntt(b,);
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(a[i]*b[i])%mod;
ntt(a,-);ll inv=power(lim,mod-);
for(int i=;i<=m;i++)
printf("%lld ",(a[i]*inv)%mod);
return ;
}
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