[BZOJ4817][SDOI2017]树点涂色(LCT+DFS序线段树)

4817: [Sdoi2017]树点涂色

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Description

Bob有一棵n个点的有根树，其中1号点是根节点。Bob在每个点上涂了颜色，并且每个点上的颜色不同。定义一条路

径的权值是：这条路径上的点（包括起点和终点）共有多少种不同的颜色。Bob可能会进行这几种操作：

1 x:

把点x到根节点的路径上所有的点染上一种没有用过的新颜色。

2 x y:

求x到y的路径的权值。

3 x y:

在以x为根的子树中选择一个点，使得这个点到根节点的路径权值最大，求最大权值。

Bob一共会进行m次操作

Input

第一行两个数n,m。

接下来n-1行，每行两个数a,b，表示a与b之间有一条边。

接下来m行，表示操作，格式见题目描述

1<=n,m<=100000

Output

每当出现2,3操作，输出一行。

如果是2操作，输出一个数表示路径的权值

如果是3操作，输出一个数表示权值的最大值

Sample Input

5 6
1 2
2 3
3 4
3 5
2 4 5
3 3
1 4
2 4 5
1 5
2 4 5

Sample Output

3
4
2
2

HINT

Source

鸣谢infinityedge上传

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首先发现第一个操作很像LCT里的Access()，这个方向已经对了。

我们设f[x]表示x与父节点的值是否一样，且f[1]=1，那么对于每个点的答案就是这个点到根上的所有f[x]之和，设为g[x]。

2操作可以转化成g[x]+g[y]-2*g[lca]+1（这里的+1要考虑清楚），3操作可以转化成求x子树中的g[]的最大值，考虑如何维护g[]。

可以发现从x修改到根时，只有每次发生链的切换的时候f[]值才会改变，而每次链的切换正是LCT中Access()所执行的操作，所以我们每次Access()切换链的时候，将其子树的所有g[]加1，对新接进来的节点的子树g[]减1，这个涉及子树的操作，直接DFS+线段树解决即可。

写代码的时候突然发现自己不会区间修改区间查询的线段树了。。吃枣药丸。。

说一下标记永久化的事情，一般的标记是存放自顶向下的懒惰信息，标记自顶向下逐层下放，标记永久化则是可以看作存的是仅在这一层的懒惰信息，标记并不下放而是自底向上地合并。

一般来说标记永久化可能会短一点，速度也会快一些，但并不是非常直观，所以在不卡常数的情况下还是写普通标记吧。

先贴一份没有标记永久化的片段

void push(int x,int L,int R){
    if (!tag[x]) return;
    tag[ls]+=tag[x]; mx[ls]+=tag[x];
    tag[rs]+=tag[x]; mx[rs]+=tag[x];
    tag[x]=;
}

void ins(int x,int L,int R,int l,int r,int k){
    if (L==l && r==R){ tag[x]+=k; mx[x]+=k; return; }
    int mid=(L+R)>>; push(x,L,R);
    if (r<=mid) ins(ls,L,mid,l,r,k);
    else if (l>mid) ins(rs,mid+,R,l,r,k);
        else ins(ls,L,mid,l,mid,k),ins(rs,mid+,R,mid+,r,k);
    mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]);
}

int ask(int x,int L,int R,int l,int r){
    if (L==l && r==R) return mx[x];
    int mid=(L+R)>>; push(x,L,R);
    if (r<=mid) return ask(ls,L,mid,l,r);
    else if (l>mid) return ask(rs,mid+,R,l,r);
        else return max(ask(ls,L,mid,l,mid),ask(rs,mid+,R,mid+,r));
}

下面是标记永久化的程序，比原来快1/5。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define ls (x<<1)
 #define rs ((x<<1)|1)
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,m,x,y,op,cnt,nd,tim,val[N],top[N],son[N],to[N],h[N],nxt[N];
 int sz[N],d[N],L[N],R[N],ch[N][],mx[N],tag[N],f[N],fa[N];
 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }
 bool isroot(int x){ return (!f[x]) || (ch[f[x]][]!=x && ch[f[x]][]!=x); }

 void dfs(int x,int pre){
     sz[x]=; d[x]=d[pre]+;
     For(i,x) if ((k=to[i])!=pre){
         f[k]=fa[k]=x; dfs(k,x); sz[x]+=sz[k];
         if (sz[son[x]]<sz[k]) son[x]=k;
     }
 }

 void dfs2(int x,int tp){
     L[x]=++tim; top[x]=tp; val[tim]=d[x];
     if (son[x]) dfs2(son[x],tp);
     For(i,x) if ((k=to[i])!=fa[x] && k!=son[x]) dfs2(k,k);
     R[x]=tim;
 }

 void rot(int x){
     int y=f[x],z=f[y],w=ch[y][]==x;
     if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][]==y]=x;
     f[x]=z; f[y]=x; f[ch[x][w^]]=y;
     ch[y][w]=ch[x][w^]; ch[x][w^]=y;
 }

 void splay(int x){
     while (!isroot(x)){
         int y=f[x],z=f[y];
         if (!isroot(y)){
             if ((ch[z][]==y)^(ch[y][]==x)) rot(x); else rot(y);
         }
         rot(x);
     }
 }

 void ins(int x,int L,int R,int l,int r,int k){
     if (L==l && r==R){ tag[x]+=k; mx[x]+=k; return; }
     int mid=(L+R)>>;
     if (r<=mid) ins(ls,L,mid,l,r,k);
     else if (l>mid) ins(rs,mid+,R,l,r,k);
         else ins(ls,L,mid,l,mid,k),ins(rs,mid+,R,mid+,r,k);
     mx[x]=max(mx[ls],mx[rs])+tag[x];
 }

 int ask(int x,int L,int R,int l,int r){
     if (L==l && r==R) return mx[x];
     int mid=(L+R)>>;
     if (r<=mid) return tag[x]+ask(ls,L,mid,l,r);
     else if (l>mid) return tag[x]+ask(rs,mid+,R,l,r);
         else return tag[x]+max(ask(ls,L,mid,l,mid),ask(rs,mid+,R,mid+,r));
 }

 int find(int x){ while (ch[x][]) x=ch[x][]; return x; }

 void access(int x){
     for (int y=; x; y=x,x=f[x]){
         splay(x); int t=find(ch[x][]);
         if (t) ins(,,n,L[t],R[t],);
         t=find(y); ch[x][]=y;
         if (t) ins(,,n,L[t],R[t],-);
     }
 }

 void build(int x,int L,int R){
     if (L==R) { mx[x]=val[L]; return; }
     int mid=(L+R)>>;
     build(ls,L,mid); build(rs,mid+,R);
     mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]);
 }

 int get(int u,int v){
     for (; top[u]!=top[v]; u=fa[top[u]])
         if (d[top[u]]<d[top[v]]) swap(u,v);
     return (d[u]<d[v])?u:v;
 }

 int main(){
     freopen("paint.in","r",stdin);
     freopen("paint.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     rep(i,,n) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
     dfs(,); dfs2(,); build(,,n);
     while (m--){
         scanf("%d",&op);
         if (op==) scanf("%d",&x),access(x);
         else if (op==){
             scanf("%d%d",&x,&y); int lca=get(x,y);
             printf("%d\n",ask(,,n,L[x],L[x])+ask(,,n,L[y],L[y])-*ask(,,n,L[lca],L[lca])+);
         }else scanf("%d",&x),printf("%d\n",ask(,,n,L[x],R[x]));
     }
     return ;
 }