TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

     关于本文说明，本人原博客地址位于http://blog.csdn.net/qq_37608890，本文来自笔者于2018年02月21日 23:10:04所撰写内容（http://blog.csdn.net/qq_37608890/article/details/79343860）。

       本文根据最近学习TensorFlow书籍网络文章的情况,特将一些学习心得做了总结,详情如下.如有不当之处,请各位大拿多多指点,在此谢过。

一、相关概念

1、MNIST

MNIST(Mixed National Institute of Standards and Technology database)，作为一个常见的数据集，是一个巨大的手写数字数据集，经常被用来测试神经网络，被广泛应用于机器学习识别领域。MNIST 数据集可在 http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ 获取, 它包含了四个部分:

• Training set images: train-images-idx3-ubyte.gz (9.9 MB, 解压后 47 MB, 包含 60,000 个样本)

• Training set labels: train-labels-idx1-ubyte.gz (29 KB, 解压后 60 KB, 包含 60,000 个标签)

• Test set images: t10k-images-idx3-ubyte.gz (1.6 MB, 解压后 7.8 MB, 包含 10,000 个样本)

• Test set labels: t10k-labels-idx1-ubyte.gz (5KB, 解压后 10 KB, 包含 10,000 个标签)

每一个训练元素都是28*28像素的手写数字图片，只有灰度值信息，空白部分为0,笔迹根据颜色深浅取[0, 1], 784维，丢弃二维空间信息，目标分0~9共10类。

2、One-Hot编码

在我们机器学习应用任务的实现过程中，针对有些非连续的数据，我们也会考虑使用数字来进行编码。例如“女人”编码为1，“男人”编码为2，即便如此，二者在数学上不存在连续关系，但是在机器学习算法中，会认为“女人”和“男人”之间存在着数学上的有序关系。

One-Hot编码：独热编码，又被称为一位有效编码，其方法是使用N位状态寄存器来对N个状态进行编码，任意一个状态都有它独立的寄存器位，并且在任意时候只有一位有效。例如上文中说的“女人”和“男人”共有两种状态，那么就可以编码为01和10，对于有N个状态的特征，经过one-hot编码后就会变成N个二元值，而其中只有一个为1。

主要优点如下：

• 解决了分类器不好处理属性数据的问题；

• 在一定程度上也起到了扩充特征的作用；

3、Softmax回归

在 logistic 回归中，我们的训练集由  m 个已标记的样本构成： ，其中输入特征。（我们对符号的约定如下：特征向量 的维度为，其中  对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记。假设函数(hypothesis function) 如下：

将训练模型参数 \textstyle \theta，使其能够最小化代价函数 ：

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 可以取 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有 个不同的类别。

对于给定的测试输入，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说，我们想估计 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 形式如下：

其中  是模型的参数。请注意  这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将  用一个的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将  按行罗列起来得到的，如下所示：

二、案例一Softmax回归实现

1、简要概述 

截止目前，我们已经知道了Logistic函数只能被使用在二分类问题中，但是它的多项式回归，即softmax函数，可以解决多分类问题。假设softmax函数ς的输入数据是C维度的向量z，那么softmax函数的数据也是一个C维度的向量y，里面的值是0到1之间。softmax函数其实就是一个归一化的指数函数，定义如下：

式子中的分母充当了正则项的作用，可以使得

作为神经网络的输出层，softmax函数中的值可以用C个神经元来表示。

对于给定的输入z，我们可以得到每个分类的概率t = c for c = 1 ... C可以表示为：

其中，P(t=c|z)表示，在给定输入z时，该输入数据是c分类的概率。

下图展示了在一个二分类(t = 1, t = 2)中，输入向量是z = [z1, z2]，那么输出概率P(t=1|z)如下图所示。

2、代码实现过程如下

#Softmax分类函数及其应用代码实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import colorConverter,ListedColormap
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
%matplotlib inline

#定义Softmax函数
def softmax(z):
    return np.exp(z)/np.sum(np.exp(z))
#展示在一个二分类（t=1，t=2）中，输入向量是z=[z1,z2],
#那么输出概率为P(t=1|Z)的情况。
nb_of_zs = 200
zs = np.linspace(-10,10,num=nb_of_zs)
zs_1, zs_2 = np.meshgrid(zs, zs)
y = np.zeros((nb_of_zs,nb_of_zs,2))
for i in range(nb_of_zs):
    for j in range(nb_of_zs):
        y[i,j,:] = softmax(np.asarray([zs_1[i,j],zs_2[i,j]]))

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(zs_1,zs_2,y[:,:,0],linewidth =0, cmap=cm.coolwarm)
ax.view_init(elev=30,azim=70)
cbar = fig.colorbar(surf)
ax.set_xlabel('$z_1$', fontsize=15)
ax.set_ylabel('$z_2$', fontsize=15)
ax.set_zlabel('$z_1$', fontsize=15)
ax.set_title('$P(t=1|\mathbf{z})$')
cbar.ax.set_ylabel('$P(t=1|\mathbf{z})$', fontsize=15)
plt.grid()
plt.show()

最终生成图像如下：

3、Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 中减去了向量 ，这时，每一个  都变成了 （）。此时假设函数变成了以下的式子：

换句话说，从 中减去完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 。

进一步而言，如果参数 是代价函数  的极小值点，那么 同样也是它的极小值点，其中 可以为任意向量。因此使 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）。

注意，当  时，我们总是可以将 替换为（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量  （或者其他 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的个参数 （其中 ），我们可以令 ，只优化剩余的  个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

三、TensorFlow实现Softmax Regression识别手写数字

1、项目背景

MNIST(Mixed National Institute of Standards and Technology
database)，简单机器视觉数据集，由几万张28X28像素的手写数字组成，这些图片只包含灰度值信息，空白部分为0,笔迹根据颜色深浅取[0,
1], 784维，我们的目标是对这些手写数字的图片进行分类，转化成0~9共10类。

2、MNIST手写数字图片示例图

3、算法结构特点

• 使用Softmax Regression分类模型进行分类。

• 只有输入层和输出层，没有隐含层。

4、TensorFlow 实现简单机器算法步骤

• 定义算法公式，神经网络forward计算。

• 定义loss，选定优化器，指定优化器优化loss。

• 迭代训练数据。

• 测试集、验证集评测准确率。

5、实现过程

Softmax函数

计算过程可视化如下

具体代码实现如下

#调用相关数据
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
mnist = input_data.read_data_sets("MNIST_data/", one_hot=True)

#展示训练集、测试集、验证集样本
print(mnist.train.images.shape, mnist.train.labels.shape)
print(mnist.test.images.shape, mnist.test.labels.shape)
print(mnist.validation.images.shape, mnist.validation.labels.shape)
#图像展示
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#imshow data
imgTol = mnist.train.images
img = np.reshape(imgTol[1,:],[28,28])
plt.show()

图像如下

继续执行后续代码，查看Softmax Regression模型的效果情况

import tensorflow as tf
sess = tf.InteractiveSession()
x=tf.placeholder(tf.float32, [None,784])
W =tf.Variable(tf.zeros([784,10]))
b=tf.Variable(tf.zeros([10]))

y = tf.nn.softmax(tf.matmul(x,W)+b)
y_ =tf.placeholder(tf.float32, [None, 10])
cross_entropy =tf.reduce_mean(-tf.reduce_sum(y_*tf.log(y),
                                             reduction_indices=[1]))

train_step =tf.train.GradientDescentOptimizer(0.5).minimize(cross_entropy)
tf.global_variables_initializer().run()

for i in range(1000):

    batch_xs, batch_ys = mnist.train.next_batch(100)
    train_step.run({x: batch_xs, y_:batch_ys})

 correct_prediction =tf.equal(tf.argmax(y,1),tf.argmax(y_,1))

 accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction, tf.float32))

print(accuracy.eval({x: mnist.test.images, y_: mnist.test.labels}))

关于执行准确率情况，笔者测试了7次，结果不尽相同，基本都是0.92左右。

第一次执行结果：0.9216;第二次三次执行结果：0.9171；第四次执行结果：0.9216;第五次执行结果：0.9193;第六次：0.9219;第七次：0.9165。

四、小结

本文涉及TensorFlow实现了一个简单的机器学习算法Softmax Regression，是一个没有隐含层的最浅的神经网络，整个流程在第三部分也提到，这里再次罗列出来，如下：

1. 定义算法公式，神经网络forward计算。
2. 定义loss，选定优化器，指定优化器优化loss。
3. 迭代训练数据。
4. 测试集、验证集评测准确率。

这四部分是使用TensorFlow进行算法设计、训练的核心流程，会贯穿神经网络的各类应用。需要提醒的是，我们定义的各个公式其实只是Computation Graph，在执行该行代码时，计算还没有实际发生，只有等调用run方法，并feed数据时计算才真正执行。例如cross_entropy、trian_step、accuracy等都是计算图中的节点，而并不是数据结果，可以通过调用run方法执行这些节点或者讲运算操作来获取结果。

至于第三部分Softmax Regression达到的效果，92%的准确率还不错，但还达不到实用的程度。手写数字的识别主要应用在银行等金融领域，如果准确率不够高，引起的后果将会非常严重。后续文章中，会从感知机、卷积神经网络的角度解决MNIST手写数字识别问题。

关于使用TensorFlow来实现Softmax Regression识别手写数字的撰写，暂时先到此。

主要参考资料《TensorFlow实战》（黄文坚  唐源 著）（电子工业出版社）