Java求最大公约数和最小公倍数

1. 最大公约数(Greatest Common Divisor(GCD))

1.1 基本概念

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

1.2 算法

辗转相除法

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29）

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0）

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29。

可以写成右边的格式。

用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

2. 最小公倍数(Least Common Multiple(LCM))

2.1 基本概念

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为（a，b）。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a,b)[a,b]=ab(a,b均为整数)

2.2 算法

公式法

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

Java语言实现求最大公约数(GCD)和最小公倍数(LCM)

• 程序一

package com.echo;
import java.util.Scanner;
public class GCDLCM {
	// 最大公约数
	public static int get_gcd(int n1, int n2) {
		int gcd = 0;
		if (n1 < n2) {// 交换n1、n2的值
			n1 = n1 + n2;
			n2 = n1 - n2;
			n1 = n1 - n2;
		}
		if (n1 % n2 == 0) {
			gcd = n2;
		}
		while (n1 % n2 > 0) {
			n1 = n1 % n2;
			if (n1 < n2) {
				n1 = n1 + n2;
				n2 = n1 - n2;
				n1 = n1 - n2;
			}
			if (n1 % n2 == 0) {
				gcd = n2;
			}
		}
		return gcd;
	}
	// 最小公倍数
	public static int get_lcm(int n1, int n2) {
		return n1 * n2 / get_gcd(n1, n2);
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		System.out.print("请输入第一个整数：");
		int n1 = input.nextInt();
		System.out.print("请输入第二个整数：");
		int n2 = input.nextInt();
		System.out.println("(" + n1 + "," + n2 + ")" + "=" + get_gcd(n1, n2));
		System.out.println("[" + n1 + "," + n2 + "]" + "=" + get_lcm(n1, n2));
	}
}

• 程序二

package com.echo;
import java.util.Scanner;
public class GCDLCM {
	// 最大公约数
	public static int get_gcd(int a, int b) {
		int max, min;
		max = (a > b) ? a : b;
		min = (a < b) ? a : b;
		if (max % min != 0) {
			return get_gcd(min, max % min);
		} else
			return min;
	}
	// 最小公倍数
	public static int get_lcm(int a, int b) {
		return a * b / get_gcd(a, b);
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		int n1 = input.nextInt();
		int n2 = input.nextInt();
		System.out.println("(" + n1 + "," + n2 + ")" + "=" + get_gcd(n1, n2));
		System.out.println("[" + n1 + "," + n2 + "]" + "=" + get_lcm(n1, n2));
	}
}