[BJOI2019]光线[递推]

题意

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分析

令 \(f_i\) 表示光线第一次从第一块玻璃射出第 \(i\) 块玻璃的比率。

令 \(g_i\) 表示光线射回第 \(i\) 块玻璃，再射出第 \(i\) 块玻璃的比率。

容易得到：

\[\begin{cases}f_i=f_{i-1}a_i+f_{i-1}b_ig_i\\g_i=b_{i-1}a_i+b_{i-1}b_ig_i+a_{i-1}g_{i-1}a_i+a_{i-1}g_{i-1}b_ig_i\end{cases}
\]

对于 (2) 式，移项可得

\[g_i=\frac{b_{i-1}a_i+a_{i-1}g_{i-1}a_i}{1-b_{i-1}b_i-a_{i-1}g_{i-1}b_i}
\]

递推即可。

由于要求逆元，复杂度 \(O(nlogn)\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i)
inline int gi() {
    int x = 0,f = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) { x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48; ch = getchar();}
    return x * f;
}
const int N = 5e5 + 7, mod = 1e9 + 7;
int n;
LL a[N], b[N], inv100, f[N], g[N];
template<typename T>LL mul(T x) { return x;}
template<typename T, typename ...U> LL mul(T x, U...y) {
	return (LL) x * mul(y...) % mod;
}
void add(LL &a, LL b) {
	a += b;
	if(a >= mod) a -= mod;
}
LL Pow(LL a, LL b) {
	LL res = 1ll;
	for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod) if(b & 1) res = res * a % mod;
	return res;
}
int main() {
	n = gi();
	inv100 = Pow(100, mod - 2);
	rep(i, 1, n) a[i] = gi() * inv100 % mod, b[i] = gi() * inv100 % mod;
	f[1] = a[1], g[1] = 0;
	for(int i = 1; i < n; ++i) {
		g[i + 1] = (mul(a[i], g[i], a[i + 1]) + mul(b[i], a[i + 1])) % mod * Pow((1 - mul(a[i], g[i], b[i + 1]) + mod - mul(b[i], b[i + 1]) + mod) % mod, mod - 2) % mod;
		f[i + 1] = mul(f[i], (a[i + 1] + mul(b[i + 1], g[i + 1])) % mod) % mod;
	}
	printf("%lld\n", f[n]);
	return 0;
}