[Codeforces 946F]Fibonacci String Subsequences

Description

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定义 \(F(x)\) 为 \(F(x-1)\) 与 \(F(x-2)\) 的连接（其中 \(F(0) = "0",F(1) = "1"\) ）。给出一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 字符串 \(s\) ，询问 \(s\) 在 \(F(x)\) 的所有子序列中出现了多少次。

\(1\leq n\leq 100,0\leq x\leq 100\)

Solution

首先 \(F(x)\) 是递归来定义的，显然我们可以递推来计算答案。

记 \(f_{l,r,i}\) 表示 \(F(i)\) 的所有子串中 \(s_{l\sim r}\) 出现的次数。

来考虑转移，一共有三部分：

1. \(l\sim r\) 完全在 \(F(i-1)\) 中。此时若 \(r=n\) ，那么可以在 \(F(i-2)\) 中乱选，则有 \(2^{len(F(i-2))}\) 种；若 \(r\neq n\) ，因为不能在后面乱选，所以贡献只有 \(1\) 倍。
2. \(l\sim r\) 完全在 \(F(i-2)\) 中。这种讨论和 1. 中相同。
3. 最后分为在不同的两段中，设 \(s_{l\sim k}\) 在 \(F(i-1)\) 中；设 \(s_{k+1\sim r}\) 在 \(F(i-2)\) 中。则 \(f_{l,r,i}=f_{l,k,i-1}\times f_{k+1,r,i-2}\) 。

Code

//It is made by Awson on 2018.3.13
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define dob complex<double>
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int N = 100, yzh = 1e9+7;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }
void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }

int n, x, g[N+5];
int f[N+5][N+5][N+5];
char ch[N+5];

int quick_pow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
    if (b&1) ans = 1ll*ans*a%yzh;
    b >>= 1, a = 1ll*a*a%yzh;
    }
    return ans;
}
void work() {
    read(n), read(x); scanf("%s", ch+1); g[0] = g[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= x; i++) g[i] = (g[i-1]+g[i-2])%(yzh-1);
    for (int i = 0; i <= x; i++) g[i] = quick_pow(2, g[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (ch[i] == '0') f[i][i][0] = 1; else f[i][i][1] = 1;
    for (int i = 2; i <= x; i++) {
    for (int l = 1; l <= n; l++)
        for (int r = l; r <= n; r++) {
        if (r == n) (f[l][r][i] += 1ll*f[l][r][i-1]*g[i-2]%yzh) %= yzh;
        else (f[l][r][i] += f[l][r][i-1]) %= yzh;
        if (l == 1) (f[l][r][i] += 1ll*f[l][r][i-2]*g[i-1]%yzh) %= yzh;
        else (f[l][r][i] += f[l][r][i-2]) %= yzh;
        for (int k = l; k < r; k++)
            (f[l][r][i] += 1ll*f[l][k][i-1]*f[k+1][r][i-2]%yzh) %= yzh;
        }
    }
    writeln(f[1][n][x]);
}
int main() {
    work(); return 0;
}