Yahoo Programming Contest 2019.E.Odd Subrectangles(思路 线性基)
\(Description\)
给定一个\(n\times m\)的\(01\)矩阵。求任意选出\(r\)行、\(c\)列(共\(2^{n+m}\)种方案),使得这\(r\)行\(c\)列的交的位置的\(r\times c\)个数的和为奇数,的方案数有多少。
(...我也不知道怎么就表述成这样了,反正挺好理解)
\(n,m\leq300\)。
\(Solution\)
假设已经确定了选择某些行,然后把每一行\(m\)个数看做一个\(m\)位二进制数。
如果这些行异或和为\(0\),那怎么选列也不行。
否则每一列异或这些行是\(0\)还是\(1\)是确定的。假设有\(a\)列异或后为\(1\),\(b\)列异或后为\(0\),\(a+b=m\)。我们要从\(a\)中选出奇数个,从\(b\)中随便选,那么方案数是\(2^{a-1}\cdot2^b=2^{m-1}\)(从\(n\)中选出奇数个数的方案数。。\(C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=\frac{2^n}{2}=2^{n-1}\))。
也就是不管行怎么选,只要异或和不为\(0\),列就有\(2^{m-1}\)种方案。
异或和不为\(0\)的方案数=\(2^n-\)异或和为\(0\)的方案数。异或和为\(0\)的方案数可以用线性基求,是\(2^{n-r}\)(\(n\)是元素总数,\(r\)是矩阵的秩,也就是线性基中的元素个数),所以答案就是\((2^n-2^{n-r})\cdot2^{m-1}\)。
这里线性基插入还是一样的,把一行看做\(m\)位数就好了。
复杂度\(O(n^3)\)或\(O(\frac{n^3}{w})\)。
//7ms 896KB
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 998244353
typedef long long LL;
const int N=305;
int A[N][N],B[N][N];
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
return now;
}
inline int FP(int x,int k)
{
int t=1;
for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
return t;
}
int main()
{
int n=read(),m=read();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=m; ++j) A[i][j]=read();
int r=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=m; ++j)
if(A[i][j])//x>>j&1
{
if(B[j][j]) for(int k=j; k<=m; ++k) A[i][k]^=B[j][k];
else
{
for(int k=j; k<=m; ++k) B[j][k]=A[i][k];
++r; break;
}
}
printf("%d\n",(FP(2,n+m-1)+mod-FP(2,n-r+m-1))%mod);
return 0;
}
bitset优化:
//5ms 256KB
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 998244353
typedef long long LL;
const int N=305;
std::bitset<N> A[N],B[N];
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
return now;
}
inline int FP(int x,int k)
{
int t=1;
for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
return t;
}
int main()
{
int n=read(),m=read();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=m; ++j) A[i][j]=read()==1;
int r=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=m; ++j)
if(A[i][j])//x>>j&1
{
if(B[j][j]) A[i]^=B[j];
else
{
B[j]=A[i];
++r; break;
}
}
printf("%d\n",(FP(2,n+m-1)+mod-FP(2,n-r+m-1))%mod);
return 0;
}
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