A New Function（LightOJ 1098）积性函数前缀和的应用

题意：要求对于1~n，每个数的约数（不包括1和其本身）的和。

题解：由于题目数据有2*10^9之大，因而不能直接暴力。需要考虑积性函数的特性，由于必定有重复的约数出现，因而可以对重复约数所在的区间进行合并。由于对于较小的约数，其对应的较大的约数重复区间较小，所以可以先将较小的约数进行合并操作，然后对其对应的较大的约数的区间进行求和。以n=10为例，对于约数2而言，1~10中有2的约数的有10/2-1个（要减去2本身），而对于2在1~10内相对应的约数4和5，则可以直接进行求和操作，求和区间为[sqrt(n)+1,n/i] 。所以我们可以在sqrt(n)的范围内求出所有约数。具体代码如下：

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    LL n;
    LL ans,m;
    int T,cas=;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL q,p;
        scanf("%lld",&n);
        ans=;
        m=(LL)sqrt(n);
        for(LL i=;i<=m;i++)
        {
            q=n/i;
            ans=ans+(q-)*i;
            p=m+;
            if(p>q)
                continue;
            ans=ans+(q-p+)*(q+p)/;
        }
        printf("Case %d: %lld\n",cas++,ans);
    }
    return ;
}

对于积性函数的前缀和的讨论可以参见：

http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009