Choosing number ZOJ - 3690 (矩阵快速幂)
题意:n个人站成一排,每个人任意从1——m中任意取一个数,要求相邻两个人的如果数字相同,数字要大于k。
分划思想推导表达式:
假设 i 个人时。第i个人的选择有两种一种是选择小于等于k的数,另一种是大于k的数。则设这两种情况的组合数分别为F(i)和 G(i)
那么F(i)=(m-k)(F(i-1)+G(i-1));m-k表示第i个人,选择了大于k的选择。
那么G(i)=kF(i-1)+(k-1)G(i-1); k*F(i-1),表示第i个人选的是大于k的数,而第i个人只能在0—k种选择,所以0—k都可以选择。但是,如果第i-1人选择了
0—k中的一个数,那么为了满足条件相邻元素大于k的原则,所以不能选择第i-1的数,所以是k-1;
然后就是基础的构造函数了。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod int(1e9+7)
#define ll long long
ll m, k, n;
struct jz
{
ll num[][];
jz(){ memset(num, , sizeof(num)); }
jz operator*(const jz &p)const
{
jz ans;
for (int k = ; k < ;++k)
for (int i = ; i < ;++i)
for (int j = ; j < ; ++j)
ans.num[i][j] = (ans.num[i][j] + num[i][k] * p.num[k][j] % mod) % mod;
return ans;
}
}p;
jz POW(jz x, ll n)
{
jz ans;
for (int i = ; i < ; ++i)ans.num[i][i] = ;
for (; n;n>>=, x=x*x)
if (n & )ans = ans*x;
return ans;
}
void init()
{
p.num[][] = m - k; p.num[][] = m - k;
p.num[][] = k; p.num[][] = k - ;
}
int main()
{
while (scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k)!=EOF)
{
ll G1 = k;
ll F1 = m - k;
init();
jz ans = POW(p, n - );
printf("%lld\n", (ans.num[][] * F1%mod + ans.num[][] * G1%mod+ans.num[][]*F1%mod+ans.num[][]*G1%mod) % mod);
}
return ;
}
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