预处理共轭梯度算法(Preconditioned Conjugate Gradients Method)

给出百度百科上的解释:

预处理共轭梯度法

预处理共轭梯度法是。不必预先估计参数等特点。

共轭梯度法近年来在求解大型稀疏方程组中取得了较好的成效。理论上普通的共扼梯度法对于对称超正定方程,只要迭代步数达到方程的阶数就可以得到精确解,但实际上当系数矩阵的条件数(最大最小特征值之比)很大时,普通的共轭梯度法收敛速度很慢。预处理共轭梯度法对系数矩阵作预处理,以加速迭代收敛速度。

这个预处理共轭梯度算法,适用的环境是“正定的大型稀疏矩阵”,并且系数矩阵的条件数(最大最小特征值之比)很大的情况。

一般在机器学习中,我目前接触的问题中其实并不太会用到这个预处理共轭梯度算法,标准的共轭梯度算法就足以处理大多数的问题了。

共轭梯度法,在之前的博客中已经多次介绍并给出了对应的计算代码,这里就不具体介绍了,这里只讲一下这个预处理。

共轭梯度法,就是求解方程:Ax=b

其中,A矩阵为正定矩阵。

而预处理共轭梯度法,则是对矩阵A进行一个预处理,因为如果A是一个比较大的稀疏矩阵,并且A的系数矩阵的条件数(最大最小特征值之比)很大,那么即使使用共轭梯度法也需要较长的运算时间,因此可以在这种情况下,可以通过对A矩阵进行一个预处理得到等价的B矩阵,即Bx=b,这里的x和Ax=b中的x相同。

给出百度文库上的资料:

预处理共轭梯度法:

PS. 预处理方法有对角线预处理,不完全Cholesky分解预处理等。其目标就是把矩阵转换为矩阵B,并保证Ax=b,Bx=b,并且两者的x相同。这个预处理共轭梯度法更多的是用在物理学领域,在信息学中的应用还是比较有限的,因此只需要做到了解即可,不用强求掌握。

本文并没有找到具体的“预处理共轭梯度”的代码,但是给出了下面相关的资料,所需要者可以根据下面的资料执行实现这个预处理的步骤:


附录:

共轭梯度法,代码:

def cg(f_Ax, b, cg_iters=10, callback=None, verbose=False, residual_tol=1e-10):
"""
Demmel p 312
"""
p = b.copy()
r = b.copy()
x = np.zeros_like(b)
rdotr = r.dot(r) fmtstr = "%10i %10.3g %10.3g"
titlestr = "%10s %10s %10s"
if verbose: print(titlestr % ("iter", "residual norm", "soln norm")) for i in range(cg_iters):
if callback is not None:
callback(x)
if verbose: print(fmtstr % (i, rdotr, np.linalg.norm(x)))
z = f_Ax(p)
v = rdotr / p.dot(z)
x += v * p
r -= v * z
newrdotr = r.dot(r)
mu = newrdotr / rdotr
p = r + mu * p rdotr = newrdotr
if rdotr < residual_tol:
break if callback is not None:
callback(x)
if verbose: print(fmtstr % (i + 1, rdotr, np.linalg.norm(x))) # pylint: disable=W0631
return x

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