【洛谷4158/BZOJ1296】[SCOI2009]粉刷匠（动态规划）

题目：洛谷4158

分析：

这题一看就是动态规划。

可以看出，如果每个木条粉刷的次数是固定的，那么这些木条是互不干扰的，因此对于每个木条可以通过dp来求出把T次中的j次分配给这个木条时可以获得的最大正确数，然后再dp出如何分配这T个粉刷次数可以获得最优解（类似于背包）。

针对这个思路设计两个状态：

\(dp1[i][j]\)表示一个木条的前\(i\)个格子被粉刷j次时最大正确数

\(dp2[i][j]\)表示前i个木条粉刷\(j\)次时最大正确数

\(dp1\)能够这样设计的理由是：刷前\(a\)个格子显然不比只刷前\(a\)个格子中的一段差（因为后一种情况下没刷的格子一定是错误的）

于是能想cai到dp方程：

$$dp1[i][j]=max(dp1[i][j],dp1[k-1][j-1]+max(k-i中 0 的数量 , k-i中 1 的数量) )$$

（对这个木条的第$j$次粉刷是从$k$刷到$i$）
（$k$~$j$中0、1的数量可以用前缀和来快速求出）

$$dp2[i][j]=max(dp2[i][j],dp2[i-1][j-k]+dp1[m][k])$$

（这个类似背包，不解释）

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,t,sum[60],dp1[60][2500],dp2[60][2500];
//sum[i]表示前i个格子中1的数量
//dp1[i][j]表示一个木条的前i个格子被粉刷j次时最大正确数
//dp2[i][j]表示前i个木条粉刷j次时最大正确数
char in[60];
int main(void)
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",in+1);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			sum[i]=sum[i-1]+in[i]-'0';
		memset(dp1,0,sizeof(dp1));
		for(int i=1;i<=m;i++)
		//一个木条被刷的次数不可能大于它的长度
			for(int j=1;j<=m;j++)
				for(int k=1;k<=j;k++)
				//k表示第i次从第k个格子刷到第j个格子
					dp1[j][i]=max(dp1[j][i],
							dp1[k-1][i-1]+max(sum[j]-sum[k-1],j-k+1-(sum[j]-sum[k-1])));
							//j-k+1-(sum[j]-sum[k-1]即从k到j中0的数量
		for(int j=1;j<=t;j++)
		{
			for(int k=1;k<=min(j,m);k++)
				dp2[i][j]=max(dp2[i][j],dp2[i-1][j-k]+dp1[m][k]);
		}
	}
	printf("%d",dp2[n][t]);
	return 0;
}