一,要解决的问题

选用合适的算法,求解三种线性方程组:一般线性方程组,对称正定方程组,三对角线性方程组。

方程略。


二,数值方法

1,使用Guass列主元消去法求解一般线性方程组。

Guass列主元是为了防止Guass消去法中大数吃掉小数而引出的一种线性方程组求解方法,消元时选用一列中绝对值最大的元素作为列主元素。

算法伪代码:

消元过程

回代过程

2,使用平方根法求解对称正定方程组

平方根法。它把系数矩阵(对称正定矩阵)表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。这样的分解又称为Cholesky分解。

3,使用追赶法求解三对角线性方程组

三对角线性方程组是指这一类的线性方程组:系数矩阵是一个对角占优的三对角矩阵。追赶法是专门用来求解三对角线性方程组的,它将系数矩阵分解成alpha矩阵和beta矩阵的乘积,例如以下图所看到的:


三。算法

1。Guass列主元消去法

  1. /*
  2. CreateOn:2016/03/20
  3. Author:linxiaobai
  4. Function:linear equation solution
  5. solution1:列主元Guass消去法求解一般线性方程组
  6. */
  7. #include "stdafx.h"
  8. # include<iostream>
  9. # include<algorithm>
  10. # include<fstream>
  11. # include<iomanip>
  12. # include<cmath>
  13. using namespace std;
  14. double a[15][15];
  15. const int N=10;
  16. double res[N+1];
  17. void printArry(double a[][15])//打印增广矩阵
  18. {
  19. for(int i=1;i<=10;i++)
  20. {
  21. for(int j=1;j<=11;j++)
  22. {
  23. cout<<setw(3)<<a[i][j]<<" ";
  24. }
  25. cout<<endl;
  26. }
  27. }
  28. int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
  29. {
  30. cout<<"【运用列主元Guass求解一般线性方程组】"<<endl;
  31. //读入增广矩阵
  32. ifstream in;
  33. in.open("data.txt");
  34. if(!in)
  35. {
  36. cerr<<"file open failed!"<<endl;
  37. return 0;
  38. }
  39. double x;
  40. int i=1,j=1;
  41. while(!in.eof())
  42. {
  43. in>>a[i][j];
  44. j++;
  45. if(j>11)
  46. {
  47. i++;j=1;
  48. }
  49. }
  50. cout<<"增广矩阵:"<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;
  51. printArry(a);
  52. cout<<"++++++++++++++++++++++++++";
  53. for(int k=1;k<=N-1;k++)
  54. {
  55. double tmp=abs(a[k][k]);
  56. int ind=k;
  57. for(int j=k;j<=N;j++)//找绝对值最大的行
  58. {
  59. if(abs(a[j][k])>tmp)
  60. {tmp=abs(a[j][k]);ind=j;}
  61. }
  62. //若a[ind][k]=0,停止计算
  63. if(a[ind][k]==0){cout<<"no unique solution"<<endl;return 0;}
  64. //绝对值最大的行交换到第k行
  65. if(ind!=k)
  66. for(int j=1;j<=N+1;j++)
  67. swap(a[ind][j],a[k][j]);
  68. //消元计算
  69. double p;
  70. for(int i=k+1;i<=N;i++)
  71. {
  72. p=a[i][k]/a[k][k];
  73. for(int j=k;j<=N+1;j++)
  74. a[i][j]-=p*a[k][j];
  75. }
  76. }
  77. if(a[N][N]==0)
  78. {cout<<"no unique solution"<<endl;return 0;}
  79. //回代求解
  80. res[N]=a[N][N+1]/a[N][N];
  81. double s;
  82. for(int i=N-1;i>=1;i--)
  83. {
  84. s=0;
  85. for(int j=i+1;j<=N;j++)
  86. s+=a[i][j]*res[j];
  87. res[i]=(a[i][N+1]-s)/a[i][i];
  88. }
  89. //输出解向量为
  90. cout<<endl<<endl<<"解向量为:"<<endl;
  91. for(int i=1;i<=N;i++)
  92. if(abs(res[i])<10e-14)
  93. cout<<"0"<<" ";
  94. else
  95. cout<<res[i]<<" ";
  96. cout<<endl;
  97. return 0;
  98. }

2,使用平方根算法解对称正定方程组

  1. /*
  2. CreateOn:2016/03/20
  3. Author:linxiaobai
  4. Function:linear equation solution
  5. solution1:使用平方根算法解对称正定方程组
  6. */
  7. # include"stdafx.h"
  8. # include<iostream>
  9. # include<fstream>
  10. # include<cmath>
  11. # include<iomanip>
  12. using namespace std;
  13. double a[10][10];
  14. const int N=8;
  15. double b[N+1],xx[N+1],yy[N+1];
  16. void printArry(double a[][10])//输出系数矩阵
  17. {
  18. for(int i=1;i<=8;i++)
  19. {
  20. for(int j=1;j<=8;j++)
  21. {
  22. cout<<setw(3)<<a[i][j]<<" ";
  23. }
  24. cout<<endl;
  25. }
  26. }int main()
  27. {
  28. cout<<"【运用平方根算法解对称正定方程组】"<<endl;
  29. /*读入系数矩阵*/
  30. ifstream in;
  31. in.open("data2.txt");
  32. if(!in)
  33. {
  34. cerr<<"file open failed!"<<endl;
  35. return 0;
  36. }
  37. int i=1,j=1;
  38. while(i<=N)
  39. {
  40. in>>a[i][j];
  41. j++;
  42. if(j>8)
  43. {
  44. i++;j=1;
  45. }
  46. }
  47. /*读入b[]*/
  48. for(int i=1;i<=N;i++)
  49. in>>b[i];
  50. cout<<"系数矩阵:"<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;
  51. printArry(a);
  52. cout<<endl<<endl<<"b:"<<endl;
  53. for(int i=1;i<=N;i++)
  54. cout<<setw(3)<<b[i]<<" ";
  55. cout<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++";
  56. //開始计算。A=GG',G存在A的下三角
  57. for(int k=1;k<=N;k++)
  58. {
  59. double s1=0;
  60. for(int m=1;m<=k-1;m++)
  61. s1+=pow(a[k][m],2);
  62. a[k][k]=sqrt(a[k][k]-s1);
  63. for(int i=k+1;i<=N;i++)
  64. {
  65. double s2=0;
  66. for(int m=1;m<=k-1;m++)
  67. s2+=a[i][m]*a[k][m];
  68. a[i][k]=(a[i][k]-s2)/a[k][k];
  69. }
  70. //计算y
  71. double s3=0;
  72. for(int m=1;m<=k-1;m++)
  73. s3+=a[k][m]*yy[m];
  74. yy[k]=(b[k]-s3)/a[k][k];
  75. }
  76. //计算x
  77. xx[N]=yy[N]/a[N][N];
  78. for(int k=N-1;k>=1;k--)
  79. {
  80. double s4=0;
  81. for(int m=k+1;m<=N;m++)
  82. s4+=a[m][k]*xx[m];
  83. xx[k]=(yy[k]-s4)/a[k][k];
  84. }
  85. cout<<endl<<"解向量为:"<<endl;
  86. for(int i=1;i<=N;i++)
  87. cout<<setw(3)<<xx[i]<<" ";
  88. cout<<endl;
  89. return 0;
  90. }

3,使用追赶法解三对角线性方程组

  1. /*
  2. CreateOn:2016/03/20
  3. Author:linxiaobai
  4. Function:linear equation solution
  5. solution1:使用追赶法解三对角线性方程组
  6. */
  7. # include"stdafx.h"
  8. # include<iostream>
  9. # include<fstream>
  10. # include<iomanip>
  11. # include<cmath>
  12. using namespace std;
  13. const int N=10;
  14. double a[N+1],c[N+1],d[N+1],xx[N+1],yy[N+1];
  15. int main()
  16. {
  17. cout<<"【运用追赶法解三对角线性方程组】"<<endl;
  18. //a[N]:主对角线上的元素
  19. for(int i=1;i<=N;i++)
  20. a[i]=4;
  21. //c[N]:上辅对角线上的元素
  22. for(int i=1;i<=N-1;i++)
  23. c[i]=-1;
  24. //d[N]:下辅对角线上的元素
  25. for(int i=2;i<=N;i++)
  26. d[i]=-1;
  27. double b[]={0,7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5};
  28. cout<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;
  29. cout<<"主对角线上的元素a:"<<endl;
  30. for(int i=1;i<=N;i++)
  31. cout<<setw(3)<<a[i]<<" ";
  32. cout<<endl<<endl<<"上辅对角线上的元素c:"<<endl;
  33. for(int i=1;i<=N-1;i++)
  34. cout<<setw(3)<<c[i]<<" ";
  35. cout<<endl<<endl<<"下辅对角线上的元素d:"<<endl;
  36. for(int i=2;i<=N;i++)
  37. cout<<setw(3)<<d[i]<<" ";
  38. cout<<endl<<endl<<"b:"<<endl;
  39. for(int i=1;i<=N;i++)
  40. cout<<setw(3)<<b[i]<<" ";
  41. cout<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;
  42. /*開始计算*/
  43. double alpha[N+1],beta[N+1];
  44. alpha[1]=a[1];
  45. for(int i=1;i<=N-1;i++)
  46. {
  47. beta[i]=c[i]/alpha[i];
  48. alpha[i+1]=a[i+1]-d[i+1]*beta[i];
  49. }
  50. yy[1]=b[1]/alpha[1];
  51. for(int i=2;i<=N;i++)
  52. {
  53. yy[i]=(b[i]-d[i]*yy[i-1])/alpha[i];
  54. }
  55. xx[N]=yy[N];
  56. for(int i=N-1;i>=1;i--)
  57. xx[i]=yy[i]-beta[i]*xx[i+1];
  58. //解向量为:
  59. cout<<endl<<"解向量为:"<<endl;
  60. for(int i=1;i<=N;i++)
  61. if(abs(xx[i])<10e-14)
  62. cout<<"0"<<" ";
  63. else
  64. cout<<xx[i]<<" ";
  65. cout<<endl;
  66. return 0;
  67. }

四,数值结果

1,Guass列主元消去法

2,使用平方根算法解对称正定方程组

3,使用追赶法解三对角线性方程组



五,结果分析与实验总结

浮点计算产生的误差

在Guass消元算法之前的代码中,我使用了近似的方法,将绝对值小于10的-14次方的值近似为0,如今去掉这个处理。来看一下结果:

  1. for(int i=1;i<=N;i++)
  2. //if(abs(res[i])<10e-14)
  3. //cout<<"0"<<" ";
  4. //else
  5. cout<<res[i]<<" ";

能够看到x3的值是一个十分接近于0的数,假设将消元后的系数矩阵打印出来。能够看到消元后的系数矩阵并非一个真正的上三角矩阵,下三角部分有几处的值是一个绝对值极小的值。这是因为计算机的浮点计算造成的,浮点数在计算机中本身就不是一个精确的数,在消元的过程中。一些浮点运算有误差,于是最后得到的是近似值,而不是0。

同理,平方根法和追赶法也会产生由浮点数计算引起的误差,降低计算误差正是学习数值分析的目的。

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