刷题总结——魔术球问题(ssoj最小路径覆盖+网络流)
题目:
题目描述
假设有 n 根柱子,现要按下述规则在这 n 根柱子中依次放入编号为 1,2 ,3,… 的球。
(1)每次只能在某根柱子的最上面放球。
(2)在同一根柱子中,任何 2 个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法,计算出在 n 根柱子上最多能放多少个球。例如,在 4 根柱子上最多放 11 个球。
对于给定的 n,计算在 n 根柱子上最多能放多少个球。
输入格式
输入文件第 1 行有 1 个正整数 n(1<n<60),表示柱子数。
输出格式
输出 n 根柱子上最多能放的球数。
样例数据 1
备注
【样例说明】
最多能放 11 个球,下面 4 行,每行是一根柱子上的球的编号。
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11
【思考以下输出样式】
将 n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出到文件中。
文件的第一行是球数。接下来的 n 行,每行是一根柱子上的球的编号。
题解:
首先可以想到这道题的策略肯定是向上枚举球的数量然后判断····
建图方法是:如果对于i<j有i+j为一个完全平方数,连接一条有向边(i,j)。该图是有向无环图,求最小路径覆盖。如果刚好满足最小路径覆盖数等于N,那么A是一个可行解,在所有可行解中找到最大的A,即为最优解。最小路径覆盖相关知识点如下:
有向无环图最小不相交路径覆盖
定义:用最少的不相交路径覆盖所有顶点。
定理:把原图中的每个点V拆成Vx和Vy,如果有一条有向边A->B,那么就加边Ax-By。这样就得到了一个二分图,最小路径覆盖=原图的节点数-新图最大匹配。
简单证明:一开始每个点都独立的为一条路径,总共有n条不相交路径。我们每次在二分图里加一条边就相当于把两条路径合成了一条路径,因为路径之间不能有公共点,所以加的边之间也不能有公共点,这就是匹配的定义。所以有:最小路径覆盖=原图的节点数-新图最大匹配。
因此每次枚举新的点加直接和之前的点枚加边即可···令外每次不用重新在图上跑网络流,记录一个group表示柱子数,和枚举的点数一起加减,然后用group减去新跑的流即可,这样就相当于枚举的点数减去在新图上完全新跑出的流(看不懂的看代码就可以了),即为最小路径覆盖
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=1e+;
const int N=;
int src=,des=;
int group,num,n;
int first[N],next[N*],go[N*],rest[N*],tot=,lev[N],cur[N];
inline void comb(int a,int b,int c)
{
next[++tot]=first[a],first[a]=tot,go[tot]=b,rest[tot]=c;
next[++tot]=first[b],first[b]=tot,go[tot]=a,rest[tot]=;
}
inline bool bfs()
{
for(int i=src;i<=des;i++) cur[i]=first[i],lev[i]=-;
static int que[N],tail,u,v;
que[tail=]=src;
lev[src]=;
for(int head=;head<=tail;head++)
{
u=que[head];
for(int e=first[u];e;e=next[e])
{
if(lev[v=go[e]]==-&&rest[e])
{
lev[v]=lev[u]+;
que[++tail]=v;
if(v==des) return true;
}
}
}
return false;
}
inline int dinic(int u,int flow)
{
if(u==des)
return flow;
int res=,delta,v;
for(int &e=cur[u];e;e=next[e])
{
if(lev[v=go[e]]>lev[u]&&rest[e])
{
delta=dinic(v,min(flow-res,rest[e]));
if(delta)
{
rest[e]-=delta;
rest[e^]+=delta;
res+=delta;
if(res==flow) break;
}
}
}
if(flow!=res) lev[u]=-;
return res;
}
inline void maxflow()
{
while(bfs())
group-=dinic(src,inf);
}
int main()
{
//freopen("a.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
while(true)
{
group++,num++;
for(int i=;i<num;i++)
if(sqrt(i+num)==(int)sqrt(i+num))
comb(i,num+,);
comb(num+,des,);
comb(src,num,);
maxflow();
if(group>n) break;
}
cout<<num-<<endl;
return ;
}
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