传送门:http://codeforces.com/contest/879/problem/C

本题是一个位运算问题——位运算的等价变换。

假设位运算符“&”“|”“^”是左结合的,且优先级相同,则一个表达式:“x@a[1]@a[2]@...@a[n]”,等价于“(...((x@a[1])@a[2])...)@a[n]”。其中,“@”为位运算符“&”“|”“^”。

将表达式“x@a[1]@a[2]@...@a[n]”表示为一个简单的等价形式:“((x&a)|b)^c”,即“x&a|b^c”。

限制条件:“(x>=0)&&(x<=0x3ff)”。

一位数的位运算:

  “&”: 0&0=0,0&1=0,1&0=0,1&1=1;

  “|”: 0|0=0,0|1=1,1|0=1,1|1=1;

  “^”: 0^0=0,0^1=1,1^0=1,1^1=0。

将表达式看成一个映射:“f:x->((x&a)|b)^c”。

此映射服从运算规律:“f(x)=x@a[1]@a[2]@...@a[n]”。

则可枚举x,比较x和f(x)的每一位,据此推测a、b、c。

实际上,由于位运算中的每一位是独立的,因此只需测试两个值:0x0(0b00,0000,0000)和0x3ff(0b11,1111,1111B)。之后比较0和f(0x0)的每一位,以及1和f(0x3ff)的每一位。

记映射f可以分解为若干个位(bit)映射,位i的映射为f[i],则:

  若f[i]:0->0,1->0,则f[i]=“&0,|0,^0”,即a[i]=0,b[i]=0,c[i]=0;

  若f[i]:0->0,1->1,则f[i]=“&1,|0,^0”,即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=0;

  若f[i]:0->1,1->0,则f[i]=“&1,|0,^1”,即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=1;

  若f[i]:0->1,1->1,则f[i]=“&1,|1,^0”,即a[i]=1,b[i]=1,c[i]=0。

于是,对每一位构造a、b、c的对应位即可。

参考程序如下:

#include <stdio.h>

int main(void)
{
int n;
int x = , y = 0x3ff;
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i < n; i++) {
getchar();
char op = getchar();
int num;
scanf("%d", &num);
switch (op) {
case '&':
x &= num;
y &= num;
break;
case '|':
x |= num;
y |= num;
break;
case '^':
x ^= num;
y ^= num;
break;
default:
break;
}
}
int num_and = , num_or = , num_xor = ;
for (int i = ; i < ; i++) {
int bit = << i;
if ((x & bit)) {
if (y & bit) num_or |= bit;
else num_xor |= bit;
num_and |= bit;
} else {
if (y & bit) num_and |= bit;
}
}
printf("3\n& %d\n| %d\n^ %d\n", num_and, num_or, num_xor);
return ;
}

对于以上位构造法:

  若f[i]:0->0,1->0,则f[i]=“&0,|0,^0”,即a[i]=0,b[i]=0,c[i]=0;

  若f[i]:0->0,1->1,则f[i]=“&1,|0,^0”,即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=0;

  若f[i]:0->1,1->0,则f[i]=“&1,|0,^1”,即a[i]=1,b[i]=0,c[i]=1;

  若f[i]:0->1,1->1,则f[i]=“&1,|1,^0”,即a[i]=1,b[i]=1,c[i]=0。

可以直接构造a、b、c:

  a=f(0x0)|f(0x3ff);

  b=f(0x0)&f(0x3ff);

  c=f(0x0)&(0x3ff^f(0x3ff))。

参考程序如下:

#include <stdio.h>

int main(void)
{
int n;
int x = , y = 0x3ff;
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i < n; i++) {
getchar();
char op = getchar();
int num;
scanf("%d", &num);
switch (op) {
case '&':
x &= num;
y &= num;
break;
case '|':
x |= num;
y |= num;
break;
case '^':
x ^= num;
y ^= num;
break;
default:
break;
}
}
int num_and = x | y,
num_or = x & y,
num_xor = x & (0x3ff ^ y);
printf("3\n& %d\n| %d\n^ %d\n", num_and, num_or, num_xor);
return ;
}

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