信息的表示和处理 及 CS:APP 15213 datalab

信息的表示和处理

在通用计算机中中，字节作为最为最小 的可寻址的内存单元，而不是访问内存中单独的位。

寻址和字节顺序

• big endian (大端法)，数据最高字节部分地址在地址处，和人的感觉逻辑相似
• little endian (小端法)，低字节部分在低地址处

布尔代数

• 1 TRUE
• 2 FALSE
• ~ NOT
• & AND
• | OR
• ^ EXCLUSIVE-OR（异或）
  • 1 ^ 0 = 1
  • 1 ^ 1 = 0
  • 0 ^ 0 = 0
  • 0 ^ 1 = 1

IEEE 754 浮点数

$ V = (-1)^s \times M \times 2^E$

• 符号(sign) s(1)为负数, s(0)为非负数
• 尾数(significand) M 是一个二进制小数, 范围为 $1 \sim 2 - \varepsilon $ 或者 \(0 \sim 1 - \varepsilon\)
• 阶码(exponent) E的作用是对浮点数加权, 权重的范围为2的 E 次方幂

将浮点数的位划分位三个字段，分别对这些值赋值：

• 一个单独的符号位 s 直接编码符号位 s, 1-bit
• k 位的阶码字段 \(exp = e_{k-1} \cdots e_1 e_0\) 编码阶码 E, k=7(单精度), k=11(双精度)
• n 位小数字段 \(frac = f_{n-1} \cdots f_1 f_0\) 编码尾数 M, 且编码的值依赖阶码字段的值是否等于 0, n=23(单精度), n=52(双精度)

浮点数的值：

• e 为无符号整数，其位表示 \(e_{k-1} \cdots e_1 e_0\)
• 小数字段 frac 被解释为描述小数值 \(f\), 其中 \(0 \le f \le 1\), 其二进制表示\(0.f_{n-1} \cdots f_1 f_0\)
• Bias 是一个等于 $2^{k-1} -1 $ 的偏置值
• 规格化\((exp !=0, exp != 2^{k}-1)\), 最常遇到的值
  • 阶码的值 \(E = exp - Bias\)
  • 尾数定义 \(M = 1 + f\)
• 非规格化\((exp == 0)\), 提供表示数值 0 及逐渐接近 0 的方法
  • 阶码的值 $E = 1 - Bias $
  • 尾数定义 \(M = f\)
• 非规格化\((exp == 2^{k}-1)\), 特殊值 NaN

舍入

表示方法限制了浮点数的范围和精度

偶数舍入(round-to-even) 为默认的舍入方式, 其将数字向上或向下舍入，使得结果的最低有效数字(保留位)是偶数(0)

只有是在两个可能的结果的中间值才考虑向偶数舍入, 大于 0.5 是直接进位的

向上舍入的情况，向下舍入可以不管（反正要丢弃了，不影响结果）

尾数 \(1.BBGRXXX\), 保留位(Guard bit)、近似位(Round bit) 和 粘滞位(Sticky bit)

• Round = 1, Sticky = 1 > 0.5 进位
• Guard = 1, Round = 1, Sticky = 0 -> 偶数向上舍入

---

实验部分

1. 只用 ~ 和 & 操作符求两个数的或

摩根定律： $ \neg(p \lor q) = \neg p \land \neg q \(
异或：\) p \oplus q = (\neg p \land q) \lor (p \land \neg q)$

所以展开即可

/*
 * bitXor - x^y using only ~ and &
 *   Example: bitXor(4, 5) = 1
 *   Legal ops: ~ &
 *   Max ops: 14
 *   Rating: 1
 */
int bitXor(int x, int y) {
    return ~(~(~x & y) & ~(x & ~y));
}

2. 最小的整形补码, 可用符号 ! ~ & ^ | + << >>

$ -2^{31} $ (0xF0000000)

/*
 * tmin - return minimum two's complement integer
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 4
 *   Rating: 1
 */
int tmin(void) {
    return 1 << 31;
}

3. 判断是否是最大的整形数，可用符号 ! ~ & ^ | +*

直接利用 INT_MAX + INT_MAX + 2 = 0 的结果并且排除0xFFFFFFFF，还要注意一个不能直接相加，只能 x+1+x+1

/*
 * isTmax - returns 1 if x is the maximum, two's complement number,
 *     and 0 otherwise
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | +
 *   Max ops: 10
 *   Rating: 2
 */
int isTmax(int x) {
    return !(x + 1 + x + 1) & !!(x + 1);
}

4. 判断所有的奇数位为1，可用符号 ! ~ & ^ | + << >>

排除偶数位的干扰得到奇数位的值，再与奇数位的 0xaaaaaaaa 做亦或运算，如果正确结果必为 0，这时做 非运算 就可以了

所有先得到 0xaaaaaaa

/*
 * allOddBits - return 1 if all odd-numbered bits in word set to 1
 *   Examples allOddBits(0xFFFFFFFD) = 0, allOddBits(0xAAAAAAAA) = 1
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 12
 *   Rating: 2
 */
int allOddBits(int x) {
    int bits0_15 = (0xAA << 8) + 0xAA;
    int bits0_23 = (bits0_15 << 8) + 0xAA;
    int bits0_31 = (bits0_23 << 8) + 0xAA;

    return !((bits0_31 & x) ^ bits0_31);
}

5.取负，可用符号 ! ~ & ^ | + << >>

/*
 * negate - return -x
 *   Example: negate(1) = -1.
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 5
 *   Rating: 2
 */
int negate(int x) { return ~x + 1; }

6. 判断是否是 ASCII 数字，可用符号 ! ~ & ^ | + << >>

1. 判断高 6_31 位，必须是 0
2. 判断 4 5 位，必须为 1
3. 判断第四位，通过相加6判断是否有进位

/*
 * isAsciiDigit - return 1 if 0x30 <= x <= 0x39 (ASCII codes for characters '0'
 * to '9') Example: isAsciiDigit(0x35) = 1. isAsciiDigit(0x3a) = 0.
 *            isAsciiDigit(0x05) = 0.
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 15
 *   Rating: 3
 */
int isAsciiDigit(int x) {
    int bit6_31 = !((x >> 6) & (~0));
    int bit_5 = (x & 0x20) >> 5;
    int bit_4 = (x & 0x10) >> 4;
    int bits0_3 = !(((x & 0xF) + 6) & 0x10);
    return bits0_3 & bit_4 & bit_5 & bit6_31;
}

7. 条件判断，三目运算符， 可用字符 ! ~ & ^ | + << >>

思路：由于 X & 0xFFFFFFFF = X, X & 0x0 = 0, 将两个数和 0xFFFFFFFF, 0x0 做与操作，再相加

1. 只需要找到什么时候为 0xFFFFFFFF 和 0x0, 注意这两者可通过 ~ 得到

/*
 * conditional - same as x ? y : z
 *   Example: conditional(2,4,5) = 4
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 16
 *   Rating: 3
 */
int conditional(int x, int y, int z) {
  int flag = (!!x + ~0);
  return (z & flag) + (y & ~flag);
}

8. 小于等于 可用字符 ! ~ & ^ | + << >>

思路：判断相等，同符号相减判断是否有进位，不同符号直接判断第一个数的符号是否为 正

/*
 * isLessOrEqual - if x <= y  then return 1, else return 0
 *   Example: isLessOrEqual(4,5) = 1.
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 24
 *   Rating: 3
 */
int isLessOrEqual(int x, int y) {
    int equal = !(x ^ y);             // x == y
    int same_sign = !((x ^ y) >> 31); // sign
    int x_reduce_y = ~y + 1 + x;
    return equal | (same_sign & (x_reduce_y >> 31)) | ((!same_sign) & (x >> 31) & 1);
}

9. 非运算符 可用字符 ! ~ & ^ | + << >>

思路：核心就是抓住 符号位判断

1. 考虑取反还是取负，取反所有数字的符号位都改变，取负只有 0 和 0x80000000 符号位不变，且这两个符号位相反，所以用取负的方式
2. 将数与其负数直接做与操作，只有 0x80000000，符号为 1 不变，不能筛选出 0 的情况
3. 考虑别的情况，将数取反做与操作，符号相反的数与操作后仍然为 0， 0x800000000 取反(符号为0)与其负数(符号为0)相与也还为 0，只有0取反后符号为1，与操作后仍为1

/*
 * logicalNeg - implement the ! operator, using all of
 *              the legal operators except !
 *   Examples: logicalNeg(3) = 0, logicalNeg(0) = 1
 *   Legal ops: ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 12
 *   Rating: 4
 */
int logicalNeg(int x) {
    return ((~x & ~(~x + 1)) >> 31) & 0x1;
}

10. 计算一个最少的补码位可以表达的位数 可用字符 ! ~ & ^ | + << >>

思路：将相邻位做亦或操作，找到最高的位为 1 所在的位

~(bits16 << 3) + 1) + (((bits16 ^ 1) & 0x1) << 3, bits* 为上一个移位的结果，利用这个结果判断是增加位移的大小

/* howManyBits - return the minimum number of bits required to represent x in
 *             two's complement
 *  Examples: howManyBits(12) = 5
 *            howManyBits(298) = 10
 *            howManyBits(-5) = 4
 *            howManyBits(0)  = 1
 *            howManyBits(-1) = 1
 *            howManyBits(0x80000000) = 32
 *  Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *  Max ops: 90
 *  Rating: 4
 */
int howManyBits(int x) {
   // all assignment must be followed by a declaration.
    int bits16, bits8, bits4, bits2, bits1;
    int shift16, shift8, shift4, shift2, shift1;

    int shift_off = 16; // first shift offset
    x ^= x << 1;        // find the highest 1-bit after XOR adjacent bits

    bits16 = !(x >> shift_off);
    shift16 = bits16 << 4;

    // binary search.
    // if result of prev offset != 0, shift_off should be increasing half prev
    // offset , else should be decreasing half.
    shift_off = shift_off + (~(bits16 << 3) + 1) + (((bits16 ^ 1) & 0x1) << 3);
    bits8 = (!(x >> shift_off));
    shift8 = bits8 << 3;

    shift_off = shift_off + (~(bits8 << 2) + 1) + (((bits8 ^ 1) & 0x1) << 2);
    bits4 = (!(x >> shift_off));
    shift4 = bits4 << 2;

    shift_off = shift_off + (~(bits4 << 1) + 1) + (((bits4 ^ 1) & 0x1) << 1);
    bits2 = (!(x >> shift_off));
    shift2 = bits2 << 1;

    shift_off = shift_off + (~(bits2) + 1) + ((bits2 ^ 1) & 0x1);
    bits1 = (!(x >> shift_off));
    shift1 = bits1;

    return 32 + (~(shift1 + shift2 + shift4 + shift8 + shift16) + 1);
}

11. 计算浮点数 f * 2, 返回浮点数的二进制位表示, 可用符号不受限制

思路：由于尾数的值取决于 frac 和 exp，所以要对其分开处理

• 对于规格数，exp + 1, 但要考虑 +1 后不能为 255
• 对于非规格数
  • exp = 255, 直接返回参数
  • exp = 0, frac = 0 返回 0， 因为这就是个 0
  • exp = 0， frac != 0, frac 左移一位（尾数取值的问题），又要判断左移后是否溢出（0-22bit）

/*
 * float_twice - Return bit-level equivalent of expression 2*f for
 *   floating point argument f.
 *   Both the argument and result are passed as unsigned int's, but
 *   they are to be interpreted as the bit-level representation of
 *   single-precision floating point values.
 *   When argument is NaN, return argument
 *   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
 *   Max ops: 30
 *   Rating: 4
 */
unsigned float_twice(unsigned uf) {
  int exp = 0x7f800000 & uf;
  int frac = 0x007FFFFF & uf;
  int sign = 0x80000000 & uf;
  int bias = (exp >> 23) - 127;

  if (uf == 0x0)
    return 0;
  if (bias == 128) // NaN return NaN, inf can't *2
    return uf;

  // frac depends on exp, so exp could not add 1 alone.
  if (exp == 0) { // (exp + frac) << 1
    frac = (frac << 1) & 0x007FFFFF;
    if (uf & 0x00400000)
      exp = 0x00800000;
  } else {
    exp = (exp + 0x00800000) & 0x7F800000;
    if (exp == 0x7F800000)
      frac = 0;
  }
  uf = sign | exp | frac;
  return sign | exp | frac;
}

12. 整数转浮点数，返回浮点数的二进制位表示, 可用符号不受限制

思路：核心在于发现该数的绝对值的最高位 1 对应浮点数隐式精度的 1, 然后最高位1后的23位排列在 frac 位置

• 取数的绝对值，后面对非负数数进行操作
• 取最少可以表达整数(最高位 1)的 k 位 inum,
• 所在的位数 n 整数i转浮点数f 在位模式上为 将 k-1 .. k-2 .. 0 放置在浮点数的 frac 部分，非规格数有一个隐式 1, 代替数字有效最高位 1
• 由上精度有限制，有效位的前23位充当尾数部分，要对后9位进行判断是否需要舍入
• 将 exp = 127 + n
• 符号位不变
• 其他 0 等情况考虑

/*
 * float_i2f - Return bit-level equivalent of expression (float) x
 *   Result is returned as unsigned int, but
 *   it is to be interpreted as the bit-level representation of a
 *   single-precision floating point values.
 *   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
 *   Max ops: 30
 *   Rating: 4
 */
unsigned float_i2f(int x) {
  unsigned abs_x = x;
  unsigned sign = x & 0x80000000;
  int flag = 0;
  int n = 30;

  if (x == 0)
    return x;
  else if (x == 0x80000000)
    return 0xcf000000;

  if (sign)
    abs_x = -x;

  while (!(abs_x & (1 << n)))
    n--;
  abs_x <<= 32 - n;

  if ((abs_x & 0x01ff) > 0x0100)
    flag = 1;
  else if ((abs_x & 0x03ff) == 0x0300)
    flag = 1;
  else
    flag = 0;

  return sign + ((n << 23) + 0x3F800000) + (abs_x >> 9) + flag;
}

13. 浮点数转整数，返回整数的二进制位表示, 可用符号不受限制

思路：有上面的 float_i2f() 做铺垫，

• 集中在对精度的处理, 对于 exp
  • 大于 31，超过整形的表达范围
  • 小于 23，值不发生改变，右移 23 - exp
  • 大于 23 小于等于 31，值发生改变 左移 exp -23
• 由于浮点数的正负只由符号位影响，所以可以最后做取负操作。

/*
 * float_f2i - Return bit-level equivalent of expression (int) f
 *   for floating point argument f.
 *   Argument is passed as unsigned int, but
 *   it is to be interpreted as the bit-level representation of a
 *   single-precision floating point value.
 *   Anything out of range (including NaN and infinity) should return
 *   0x80000000u.
 *   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
 *   Max ops: 30
 *   Rating: 4
 */
int float_f2i(unsigned uf) {
    unsigned sign = uf & 0x80000000;
    unsigned exp = uf & 0x7F800000;
    unsigned frac = uf & 0x007FFFFF;

    if (uf == 0x7F800000)
        return 0x80000000;
    else if (uf == 0)
        return 0;

    if (exp == 0)
        return 0;

    int m = 0x00800000 + frac;
    int e = (exp >> 23) - 127;

    if (e < 0)
        return 0;
    else if (e > 31)
        return 0x80000000;
    else if (e < 23)
        m >>= (23 - e);
    else
        m <<= (e - 23);

    if (sign)
        m = -m;
    return sign | m;
}