UVa 1639 - Candy（数学期望 + 精度处理）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4514

题意：

有两个盒子各有n（1≤n≤2e5）个糖，每天随机选一个（概率分别为p，1-p），然后吃一颗糖。
直到有一天，打开盒子一看，没糖了！输入n，p，求此时另一个盒子里糖的个数的数学期望。

分析：

根据期望的定义，不妨设最后打开第1个盒子，此时第2个盒子有i颗，则这之前打开过n+(n-i)次盒子，
其中有n次取的是盒子1，其余n-i次取的盒子2，概率为C(2n-i,n)(p^(n+1))((1-p)^(n-i))。
注意p的指数是n+1，因为除了前面打开过n次盒子1之外，最后又打开了一次。
这个概率表达式在数学上是正确的，但是用计算机计算时需要小心：
n可能高达20万，因此C(2n-i,n)可能非常大，而(p^(n+1))和((1-p)^(n-i))却非常接近0。
如果分别计算这3项再乘起来，会损失很多精度。
一种处理方式是利用对数，设v1(i) = ln(C(2n-i,n)) + (n+1)ln(p) + (n-i)ln(1-p)，
则“最后打开第1个盒子”对应的数学期望为e^v1(i)。
同理，当最后打开的是第2个盒子，对数为v2(i) = ln(C(2n-i,n)) + (n+1)ln(1-p) + (n-i)ln(p)，概率为e^v2(i)。
根据数学期望的定义，最终答案为sum{i(e^v1(i)+e^v2(i))}。

代码：

 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 
 const int UP = 2e5 *  + ;
 long double logF[UP];
 
 // C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)
 long double logC(int n, int m) {
     return logF[n] - logF[m] - logF[n-m];
 }
 
 double solve(int n, double p) {
     double ans = ;
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         long double c = logC(n+n-i, n);
         long double v1 = c + (n+)*log(p) + (n-i)*log(-p);
         long double v2 = c + (n+)*log(-p) + (n-i)*log(p);
         ans += i * (exp(v1) + exp(v2));
     }
     return ans;
 }
 
 int main() {
     logF[] = ;
     for(int i = ; i < UP; i++) logF[i] = logF[i-] + log(i);
     int n;
     double p;
     for(int cases = ; ~scanf("%d%lf", &n, &p); cases++) {
         printf("Case %d: %.6f\n", cases, solve(n, p));
     }
     return ;
 }