A study on ILC for linear discrete systems with single delay

论文题目就是随笔的题目，以后的随笔的命名都是如此，特此说明。

论文的主要内容是偏理论研究的，引入了离散矩阵延迟指数函数，来处理具有单时滞线性离散系统。对于离散延迟矩阵指数函数其定义为：

\[e_{m}^{G t}:=\left\{\begin{array}{l}
\Theta, \quad \text { if } t \in \mathbb{Z}_{-\infty}^{-m-1} \\
E, \quad \text { if } t \in \mathbb{Z}_{-m}^{0} \\
E+G \frac{t !}{1 !(t-1) !}+G^{2} \frac{(t-m) !}{2 !(t-m-2) !}+\cdots+G^{s} \frac{(t-(s-1) m) !}{s !(t-(s-1) m-s) !} \\
\text { if } t \in \mathbb{Z}_{(s-1)(m+1)+1}^{s(m+1)}, \quad s=1,2, \ldots
\end{array}\right.
\]

现在解释一下单时滞系统，我的理解是在系统的状态方程，状态的x(k)与之前状态有关，百科的解释是信号传递有时间延迟的系统，如下所示：

\[\left\{\begin{array}{l}
x_{k}(t+1)=A x_{k}(t)+A_{1} x_{k}(t-m)+B u_{k}(t), \quad t \in \mathbb{Z}_{0}^{T} \\
x_{k}(t)=\varphi(t), t \in \mathbb{Z}_{-m}^{0} \\
y_{k}(t)=C x_{k}(t)+D u_{k}(t)
\end{array}\right.
\]

第一式的第一项与k-m有关。

论文更加偏向理论性的研究和证明，提出的控制律为\(u_{k+1}(t)=u_{k}(t)+L_{1} \cdot e_{k}(t)\)，作者主要是利用离散延迟矩阵来对单时滞系统的状态进行转换，转换成只含有控制信号的表达式，如下所示：

\[\begin{aligned}
x_{k}(t)=& A^{t} e_{m}^{B_{1} t} A^{-m} \varphi(-m)+\sum_{j=-m+1}^{0} A^{(t-j)} e_{m}^{B_{1}(t-m-j)}[\varphi(j)-A \varphi(j-1)] \\
&+\sum_{j=1}^{t} A^{(t-j)} e_{m}^{B_{1}(t-m-j)} B u_{k}(j-1)
\end{aligned}
\]

文章对离散矩阵延迟指数函数有一个简化的表示，利用G的特征值来表示，如下所示：

\[e_{m}^{G t}=\operatorname{Pdiag}\left(e_{m}^{\lambda_{1} t}, e_{m}^{\lambda_{2} t}, \ldots, e_{m}^{\lambda_{n} t}\right) P^{-1}, \quad t \in \mathbb{Z}
\]

代码见Github