CF524F And Yet Another Bracket Sequence 题解

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算法：后缀数组+ST表+贪心

各路题解都没怎么看懂，只会常数巨大的后缀数组+ST表，最大点用时 \(4s\), 刚好可以过。。。

确定合法序列长度

首先一个括号序列是合法的必须满足以下两个条件：

(的数量和)的数量相等。
序列任意前缀中，)的数量都小于等于(的数量；或者序列任意后缀中，(的数量都小于等于)的数量（在满足条件1的情况下两种说法等价）。

这两个条件共同构成了检验括号序列合法的充要条件。

所以题目中要求的合法序列最小值，其实就是让两个括号数目相等时的总长，让少的那种括号补上就可以了。

让字典序最小

现在考虑如何让字典序最小。

1. 括号放置（贪心）

不妨设当前)比(少，数量分别为 \(cnt_1,cnt_2\)，为了让序列长度最小，我们只能在序列中补上 \(cnt_2-cnt_1\) 个)。为了让字典序最小，我们把)放在序列末尾，这样做可以在要补全序列满足上述条件 \(2\) 的情况下，最后得到的序列是合法的，而且字典序是最小的。但是当要补全的序列不满足条件 \(2\) 时，不管你怎么加)都不能满足条件 \(2\) 了，所以如果能加)一定是加在末尾的（贪心）。

同理在(比)少时，我们在序列前面补全(，满足字典序最小。这样可以发现，要补全序列和补全括号的部分是完全独立的，所以只要使要补全的序列字典序最小，且满足条件 \(2\), 这道题就解决了。

2. 字典序排列（后缀数组）

因为括号字符串 \(S\) 可以循环，这里一般的套路是复制一次原串到末尾，形成循环串。这里要让长度为 \(|S|\) 的字符串进行排序，我们使用后缀数组完成后缀排序。我们只需考虑长度大于等于 \(|S|\) 的串（因为这些串要么前 \(|S|\) 个字符相等，这样取哪个都是等价的；要么不等，那么排序就相当于长度 \(|S|\) 的字符串进行排序）。

剩下问题就是判断这个长度为 \(|S|\) 的区间，是否满足条件 \(2\) 。

3.判断条件2（ST表）

这里有个判断括号序列合法的套路，就是把(映射为 \(1\)，)映射为 \(-1\)，得到前缀和 \(lr\_cnt\) 与后缀和 \(rl\_cnt\)。分情况讨论：

\(lr\_cnt_{|S|}=0\) ，满足条件 \(1\) ，因为不用补全括号，所以不用考虑了。
\(lr\_cnt_{|S|}>0\) ，(数目多于)，需要在序列末尾补上)。要使某个区间 \([l,r]\) 满足条件 \(2\) ，就要使 \([l,r]\) 的任意前缀中，)的数量都小于等于(的数量，即对于 \(\forall x,l\le x\le r\) 都有 \([l,x]\) 中(的数目减)的数目大于等于 \(0\) 。因为我们已经求出了前缀和，所以我们可以 \(\mathcal O(1)\) 判断是否满足上述要求：取这个区间上前缀和最小的值，减去 \(lr\_cnt_{l-1}\) ，如果仍大于等于 \(0\) ，说明该区间确实满足上述要求（因为如果这个值都不小于 \(0\) 了，区间其他值肯定也不小于 \(0\)）。求区间最小值，预处理ST表即可。
\(lr\_cnt_{|S|}<0\) ，同理要在序列前端补上(。上面是求前缀和区间最小值，这里就是求后缀和区间最大值了。所以在ST表得分情况处理。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 2e6+5;

char s[N];

int tp[N],rak[N],sa[N],tax[N],sl,m,lr_cnt[N],lg[N],f[N][22],rl_cnt[N];

void radixSort(){

    for(int i = 1;i <= m;i++) tax[i] = 0;

    for(int i = 1;i <= sl; i++) tax[rak[i]]++;

    for(int i = 1;i <= m;i++) tax[i] += tax[i-1];

    for(int i = sl; i ; i--) sa[tax[rak[tp[i]]]--] = tp[i];

}

void build_sa(){

    m = 125;

    for(int i = 1; i <= sl; i++) rak[i] = s[i], tp[i] = i;

    radixSort();

    for(int p = 0,w = 1; p < sl; w <<= 1, m = p){

        p = 0;

        for(int i = 1;i <= w;i++) tp[++p] = sl - w + i;

        for(int i = 1; i <= sl; i++) if(sa[i] > w) tp[++p] = sa[i] - w;

        radixSort();

        swap(tp,rak);

        rak[sa[1]] = p = 1;

        for(int i = 2; i <= sl; i++) rak[sa[i]] = (tp[sa[i]] == tp[sa[i - 1]] && tp[sa[i] + w] == tp[sa[i - 1] + w]) ? p : ++p;

    }

}

void make_st(){

    int range = lg[sl];

    //'('的数目多

    if(lr_cnt[sl] > 0){

        for(int i = 1;i <= sl;i++) f[i][0] = lr_cnt[i];

        for(int i = 1;i <= range;i++)

            for(int j = 1;j + (1<<i) - 1<= sl;j++)

                f[j][i] = min(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]);

    }else{

    //')'的数目多

        for(int i = 1;i <= sl;i++) f[i][0] = rl_cnt[i];

        for(int i = 1;i <= range;i++)

            for(int j = 1;j + (1<<i) - 1<= sl;j++)

                f[j][i] = max(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]);

    }

}

int query(int l,int r){

    int range = lg[r-l+1];

    if(lr_cnt[sl] > 0) return min(f[l][range], f[r - (1 << range) + 1][range]);

    else return max(f[l][range],f[r-(1<<range)+1][range]);

}

int main(){

    scanf("%s",s+1);

    sl = strlen(s+1);

    for(int i = 1;i <= sl;i++) s[i + sl] = s[i];

    sl <<= 1;   //长度翻倍，注意后面用到时要/2得到原长

    build_sa();

    //lr_cnt为前缀和，rl_cnt为后缀和

    for(int i = 1;i <= sl;i++)

        lr_cnt[i] = lr_cnt[i - 1] + ((s[i] == '(') ? 1 : -1);

    for(int i = sl;i;i--)

        rl_cnt[i] = rl_cnt[i + 1] + ((s[i] == '(') ? 1 : -1);

    //预处理log2数组

    for(int i = 2;i <= sl;i++) lg[i] = lg[i-1] + (i == (1<<(lg[i-1]+1)));

    make_st();

    //l_fill是在前端补全'('的数目,r_fill是在末尾补全')'的数目（其中一个为0）

    int l_fill = 0,r_fill = 0,ans_pos;

    if(lr_cnt[sl] > 0) r_fill = lr_cnt[sl]/2; //因为序列翻倍，所以得/2

    else l_fill = abs(lr_cnt[sl]/2);

    for(int i = 1;i <= sl;i++){

        //获得排名为i的后缀左端点在原串位置

        int p = sa[i];

        if(p > sl/2) continue;

        //res查询区间最值

        int res = query(p,p + sl/2 -1);

        if(lr_cnt[sl] > 0){

            if(res - lr_cnt[p - 1] < 0) continue;

        }else{

            if(res - rl_cnt[p + sl / 2] > 0) continue;

        }

        ans_pos = p;

        break;

    }

    for(int i = 1; i <= l_fill; i++) printf("(");

    for(int i = ans_pos;i <= ans_pos + sl/2 - 1;i++) printf("%c",s[i]);

    for(int i = 1; i <= r_fill; i++) printf(")");

    return 0;

}