欧几里得算法

又称辗转相除法

迭代求两数 gcd 的做法

由 (a,b) = (a,ka+b) 的性质:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

 int gcd(int a,int b){
if(b==) return a;
return gcd(b,a%b);
}

O(logn)

裴蜀定理:

设 (a,b) = d,则对任意整数 x,y,有 d|(ax+by) 成立;

特别地,一定存在 x,y 满足 ax+by = d

等价的表述:不定方程 ax+by = c(a,b,c 为整数) 有解的充要条件为 (a,b)|c

推论:a,b 互质等价于 ax+by = 1 有解

扩展欧几里德算法

考虑如何求得 ax+by = d 的一个解。

这里 d = (a,b)

考虑使用欧几里德算法的思想,

令 a = bq+r,其中 r = a%b;

设求出 bx+ry = d 的一个解为 x = x0,y = y0,

我们可以知道gcd(a,b)最后一定会变成gcd(d,0)

所以ax + by = d     =>    dx0 + 0y0 = d

所以x0 = 1,y0 = 任何数;

考虑如何把它变形成 ax + by = d 的解。

将 a = bq+r 代入 ax + by = d,

化简得 b(xq+y) +rx = d

我们令 xq+y = x0,x = y0,

则上式成立 故 x = y0,y = x0 −y0q 为 ax+by = d 的解

边界情况:b = 0 时,令 x = 1,y = 0 //不知道为啥y=0;qwq

 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==){
x=,y=;
return;
}
int q=a/b,r=a%b;
exgcd(b,r,y,x);
y-=q*x;
}

先用 exgcd 求出任意一个解 x = x0,y = y0

再求出 ax+by = 0 的最小的解 x = dx = b/(a,b),y = dy = −a/(a,b)

所有解就是 x = x0 +kdx,y = y0 +kdy,

k 取任意整数

欧几里得算法(gcd) 裴蜀定理 拓展欧几里得算法(exgcd)的更多相关文章

  1. 【初等数论】裴蜀定理&扩展欧几里得算法

    裴蜀定理: 对于\(a,b\in N^*, x, y\in Z\),方程\(ax+by=k\)当且仅当\(gcd(a, b)|k\)时有解. 证明: 必要性显然. 充分性:只需证明当\(k=gcd(a ...

  2. 初等数论-Base-2(扩展欧几里得算法,同余,线性同余方程,(附:裴蜀定理的证明))

    我们接着上面的欧几里得算法说 扩展欧几里得算法 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式\(^①\): ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的 ...

  3. Wannafly挑战赛22 A-计数器(gcd,裴蜀定理)

    原题地址 题目描述 有一个计数器,计数器的初始值为0,每次操作你可以把计数器的值加上a1,a2,...,an中的任意一个整数,操作次数不限(可以为0次),问计数器的值对m取模后有几种可能. 输入描述: ...

  4. 【BZOJ1441】Min 拓展裴蜀定理

    [BZOJ1441]Min Description 给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小 Input 第一行给出数 ...

  5. bzoj 2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料【裴蜀定理+gcd】

    裴蜀定理:若a,b是整数,且gcd(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立. 所以最后能得到的最小燃料书就是gcd,所以直 ...

  6. 辗转相除法 & 裴蜀定理

    2018-03-11 17:39:22 一.辗转相除法 在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法.辗转相除法首次出现于欧几里得的&l ...

  7. 【BZOJ】1441: Min(裴蜀定理)

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1441 这东西竟然还有个名词叫裴蜀定理................ 裸题不说....<初等数 ...

  8. [BZOJ1441&BZOJ2257&BZOJ2299]裴蜀定理

    裴蜀定理 对于整系数方程ax+by=m,设d =(a,b) 方程有整数解当且仅当d|m 这个定理实际上在之前学习拓展欧几里得解不定方程的时候就已经运用到 拓展到多元的方程一样适用 BZOJ1441 给 ...

  9. 【BZOJ-2299】向量 裴蜀定理 + 最大公约数

    2299: [HAOI2011]向量 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 1118  Solved: 488[Submit][Status] ...

随机推荐

  1. SQL数据单条转多条(Lateral View)

    Lateral View和split,explode等UDTF一起使用,它能够将一行数据拆成多行数据,并在此基础上对拆分后的数据进行聚合. 单个Lateral View语句语法定义如下:lateral ...

  2. nginx 日志功能详解

    nginx 日志功能 在 nginx 中有两种日志: access_log:访问日志,通过访问日志可以获取用户的IP.请求处理的时间.浏览器信息等 error_log:错误日志,记录了访问出错的信息, ...

  3. 【requests库】七个主要方法

    本文主要介绍requests库访问http的七个主要方法:get.head.post.put.patch.delete. requests.get()方法 get方法用于获取指定url的HTML网页, ...

  4. el-table 操作列(编辑or删除) 获取本行相关数据

    简单说明:开发的时候,经常会遇到表格后面跟着操作列,一般都是编辑或者删除,那么 就需要获取到 本行数据相关的id或者其他附属信息.ok,下边放代码 //vue el-table的部分代码 <el ...

  5. 面试题十八:在O(1)的时间内删除链表的节点

    方法一:将要删除的·节点的下一个节点的内容复制到该节点上,然后删除下一个节点注意特殊情况:链表只有一个节点时,则删除头节点,则把头节点设置为null, 如果删除的尾节点则需要顺序遍历链表,取得前序节点 ...

  6. 你不知道的Java引用

    什么是引用   引用就是保存着一块地址(门牌号)的对象,就像C语言的指针那样,引用可以传递某个数据的地址,如果我们想拿到某一条数据,就要先找到他的地址,然后告诉计算机我去拿这个地址的数据,最后计算机就 ...

  7. 报错:invalid operands to binary - (have ‘int’ and ‘char *’)

    //这个题是输入大写的一串字符,然后按A对应1...这个规律求乘积 char a[],b[]; scanf("%s",a); scanf("%s",b); in ...

  8. Day12_搜索过滤

    学于黑马和传智播客联合做的教学项目 感谢 黑马官网 传智播客官网 微信搜索"艺术行者",关注并回复关键词"乐优商城"获取视频和教程资料! b站在线视频 0.学习 ...

  9. 点format方式输出星号字典的值是键

    dic = {'a':123,'b':456} print("{0}:{1}".format(*dic)) a:b 2020-05-08

  10. PHP hex2bin() 函数

    实例 把十六进制值转换为 ASCII 字符: <?phpecho hex2bin("48656c6c6f20576f726c6421");?> 以上实例输出结果: He ...