Codeforces #6241 div2 C. Orac and LCM (数学)

• 

• 题意:给你一个数列,求所有子序列对的\(lcm\),然后求这些所有\(lcm\)的\(gcd\).

• 题解:我们对所有数分解质因数,这里我们首先要知道一个定理:

  ​ 对于\(n\)个数,假如某个质数\(p\),这\(n\)个数中有\(\le n-1\)个数的质因数包含\(p\)，那么他们的\(lcm\)中一定不含\(p\)这个因数,随意我们先预处理出每个数的质因子,选择个数\(\ge n-1\)的质因子.

  ​ 然后,在这些质因子中,我们要求每两两之间的\(lcm\),然后再求他们的\(gcd\),不难发现,他们最后得到的\(gcd\)一定是那些\(lcm\)中最小的数,而\(lcm\)最小的数一定是不同次相同底第二小的数(包括1).

  ​ 所以,假如\(p\)的数量为\(n\),那么就选次数第二小的,如果为\(n-1\),就选最小的(因为1肯定比它小).

  ​ 最后,累乘一下就行了.

• 代码:

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #include <cstring>
  #include <cmath>
  #include <algorithm>
  #include <stack>
  #include <queue>
  #include <vector>
  #include <map>
  #include <set>
  #include <unordered_set>
  #include <unordered_map>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 1e9 + 7;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<long,long> PLL;
  int n;
  ll x;
  vector<ll> Hash[N];
  void divide(ll x){
      ll cnt=0;
      for(ll i=2;i<=x/i;++i){
          if(x%i==0){
              cnt=0;
              while(x%i==0){
                  x/=i;
                  cnt++;
              }
              Hash[i].pb(cnt);
          }
      }
      if(x>1) Hash[x].pb(1);
  }
  ll fpow(ll a,ll k){
      ll res=1;
      while(k){
          if(k&1) res=res*a;
          k>>=1;
          a=a*a;
      }
      return res;
  }
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(false);
      cin>>n;
       for(ll i=1;i<=n;++i){
           cin>>x;
           divide(x);
       }
       ll ans=1;
       for(ll i=1;i<=200000;++i){
           if(Hash[i].size()>=n-1){
               sort(Hash[i].begin(),Hash[i].end());
               if(Hash[i].size()==n) ans*=fpow(i,Hash[i][1]);
               else ans*=fpow(i,Hash[i][0]);
           }
       }
       printf("%lld\n",ans);
      return 0;
  }