【DP】【单调队列】【NOI2005】瑰丽华尔兹

340. [NOI2005] 瑰丽华尔兹

★★★   输入文件：adv1900.in   输出文件：adv1900.out   简单对照
时间限制：1 s   内存限制：128 MB

【任务描写叙述】

你跳过华尔兹吗？当音乐响起，当你随着旋律滑动舞步，是不是有一种漫步仙境的满意？众所周知。跳华尔兹时，最重要的是有好的音乐。可是非常少有几个人知道，世界上最伟大的钢琴家一生都漂泊在大海上。他的名字叫丹尼•布德曼•T.D.•柠檬•1900，朋友们都叫他1900。

1900出生于20世纪的第一年出生在往返于欧美的邮轮弗吉尼亚号上，然后就被抛弃了。

1900刚出生就成了孤儿，孤独的成长在弗吉尼亚号上。从未离开过这个摇晃的世界；或许是对他命运的补偿。上帝派可爱的小天使艾米丽照应他。

可能是天使的点化，1900拥有不可思议的钢琴天赋，从未有人教，从没看过乐谱。但他却能凭着自己的感觉弹出最沁人心脾的旋律。

当1900的音乐获得邮轮上全部人的欢迎时，他才8岁，而此时他已经乘着海轮往返欧美50多次了。

虽说是钢琴奇才。但1900还是个8岁的孩子，他有着和一般男孩一样的好奇的调皮，只是可能更有一层浪漫的色彩罢了：

这是一个风雨交加的夜晚。海风卷起层层巨浪拍打着弗吉尼亚号。邮轮随着巨浪剧烈的摇摆。船上的新萨克斯手迈克斯?托尼晕船了。1900将他 邀请到舞厅。然后——。然后松开了固定钢琴的闸，于是。钢琴随着海轮的倾斜滑动起来。准确的说，我们的主角1900、钢琴、邮轮随着1900的旋律一起跳 起了华尔兹，全部的事物好像都化为一体，随着“强弱弱”的节奏。托尼的晕船症也奇迹般地一点一点恢复。正如托尼在回顾录上这样写道：

大海摇晃着我们

使我们转来转去

高速的掠过灯和家具

我意识到我们正在和大海一起跳舞

真是完美而疯狂的舞者

晚上在金色的地板上快乐的跳着华尔兹是不是非常满意呢？或许。我们忘记了一个人。那就是艾米丽。她可没闲着：她必须在适当的时候施魔法帮助1900。不让钢琴碰上舞厅里的家具。而艾米丽还小，她无法施展魔法改变钢琴的运动方向或速度，而仅仅能让钢琴停一下。

最好还是觉得舞厅是一个N行M列的矩阵。矩阵中的某些方格上堆放了一些家具。其它的则是空地。

钢琴能够在空地上滑动。但不能撞上家具或滑出舞厅，否则会损坏钢琴和家具。引来难缠的船长。

每一个时刻，钢琴都会随着船体倾斜的方向向相邻的方格滑动一格，当中相邻的方格能够是向东、向西、向南或向北的。而艾米丽能够选择施魔法或不施魔法，假设不施魔法。则钢琴会滑动，而假设施魔法。则钢琴会原地不动。 艾米丽是个天使，她知道每段时间的船体的倾斜情况。她想使钢琴尽量长时间在舞厅里滑行，这样1900会非常高兴，同一时候也有利于治疗托尼的晕船。但艾米丽还太小，不会算。所以希望你能帮助她。

【输入格式】

输入文件的第一行包括5个数N, M, x, y和K。

N和M描写叙述舞厅的大小，x和y为在第1时刻初钢琴的位置（x行y列）；我们对船体倾斜情况是按时间的区间来描写叙述的，比方“在[1, 3]时间里向东倾斜，[4, 5]时间里向北倾斜”，因此这里的K表示区间的数目。

下面N行，每行M个字符，描写叙述舞厅里的家具。第i行第j列的字符若为‘ . ‘。则表示该位置是空地；若为‘ x ‘。则表示有家具。

下面K行。顺序描写叙述K个时间区间，格式为：si ti di(1 ≤ i ≤ K)。表示在时间区间[si, ti]内。船体都是向di方向倾斜的。di为1, 2, 3, 4中的一个，依次表示北、南、西、东（分别相应矩阵中的上、下、左、右）。输入保证区间是连续的。即

s1 = 1
ti = si-1 + 1 (1 < i ≤ K)
tK = T

【输出格式】

输出文件仅有1行，包括一个整数，表示钢琴滑行的最长距离(即格子数)。

【输入例子】

4 5 4 1 3
..xx.
.....
...x.
.....
1 3 4
4 5 1
6 7 3

【输出例子】

6

【例子说明】

钢琴的滑行路线：



钢琴在“×位置上时天使使用一次魔法，因此滑动总长度为6。

【评分方法】

本题没有部分分，你的程序的输出仅仅有和我们的答案全然一致才干获得满分，否则不得分。

【数据范围】

50%的数据中，1≤N, M≤200，T≤200。

100%的数据中。1≤N, M≤200。K≤200，T≤40000。

题解：

第一次见题目描写叙述如此长且没太多用处的题目。。

首先考虑对于时间t来dp：

f[t][i][j]表示在第t时刻在第i行第j列所能获得的最长距离。

转移方程显然：

f[t][i][j]=max(f[t-1][i][j],f[t][i*][j*]+1)(i*,j*为上一个合理的位置)

这样时间复杂度为O(TNM)，能够过50%,但对于100%超时。

所以考虑一下还有一种dp方式：

f[k][i][j]表示在第k段滑行区间中在第i行第j列获得最长距离。

考虑转移：

对于d==1（即向上走），能够发现每一列的信息是能够转移的，同一时候，每一列的信息也是能够通过单调队列维护的信息十分高速的求出，能够脑补，复杂度为O(KNM)。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 210
#define inf -2139062144
using namespace std;
int n,m,X,Y,K,T,h,t,ans=0;
int q[100*N],Q[100*N],f[N][N][N],dx[6]={0,-1,1,0,0},dy[6]={0,0,0,-1,1};
bool a[N][N];
int in(){
    int x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
void push(int k,int now,int x,int y){
    if (k==inf) return;
    while (h<=t && (k-now)>Q[t]) t--;
    Q[++t]=k-now; q[t]=now;
}
void dp(int xu,int x,int y,int d){
    int now=1; h=1,t=0;
    while (1){
        if (x<1 || x>n || y<1 || y>m) break;
        if (!a[x][y]) h=1,t=0;
        else push(f[xu-1][x][y],now,x,y);
        while (h<=t && (now-q[h])>T) h++;
        if (h<=t) f[xu][x][y]=Q[h]+now;
        else f[xu][x][y]=inf;
        ans=max(ans,f[xu][x][y]);
        x+=dx[d],y+=dy[d]; now++;
    }
}
void work(int xu,int s,int t,int d){
    T=t-s+1;
    if (T<1) return;
    if (d==1)
        for (int i=1; i<=m; i++)
            dp(xu,n,i,d);
    else if (d==2)
        for (int i=1; i<=m; i++)
            dp(xu,1,i,d);
    else if (d==3)
        for (int i=1; i<=n; i++)
            dp(xu,i,m,d);
    else
        for (int i=1; i<=n; i++)
            dp(xu,i,1,d);
}
int main(){
    n=in(),m=in(),X=in(),Y=in(),K=in();
    memset(f,128,sizeof(f));
    f[0][X][Y]=0;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        for (int j=1; j<=m; j++){
            char ch=getchar();
            while (ch!='.' && ch!='x') ch=getchar();
            if (ch=='.') a[i][j]=1;
            else a[i][j]=0;
        }
    for (int i=1; i<=K; i++){
        int s=in(),t=in(),d=in();
        work(i,s,t,d);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}