FFT算法实现——基于GPU的基2快速傅里叶变换

最近做一个东西，要用到快速傅里叶变换，抱着蛋疼的心态，自己尝试写了一下，遇到一些问题。

首先看一下什么叫做快速傅里叶变换（FFT）（来自Wiki）：

快速傅里叶变换（英语：Fast Fourier Transform, FFT），是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。

对于复数串行，离散傅里叶变换公式为：

直接变换的计算复杂度是O(n^2).快速傅里叶变换可以计算出与直接计算相同的结果，但只需要O(nlogn)的计算复杂度。

参考：快速傅里叶变换Wiki

首先，看一个概念叫做N次单位复根：复数WN^n = 1。N次单位复根一共有N个，分别为：W(k,N) = cis(2*PI*k/N),k=0,1,...,n-1

其中cis(u) = e^i*u = cos(u) + isin(u)（欧拉公式）

参考：欧拉公式Wiki

N次单位复根有如下性质：

1. W(k+N,N) = W(k,N)
2. W(k+N/2,N) = -W(k,N)
3. W(dk,dN) = W(k,N) (d>0)

库利-图基算法：

将长度为N的序列分成两个N/2的子序列N1和N2，其中N1是原来序列的奇数项，N2为偶数项。

将离散傅里叶变换写成：

N(x) = ∑(j=0,n-1)aj*xj x = W(k,N)

分解后有：

N1(x) = a0 + a2*x + a4*x^2 + ... + a(n-2)*x^(n/2-1)……1

N2(x) = a1 + a3*x + a5*x^2 + ... + a(n-1)*x^(n/2-1)……2

N(x) = N1(x^2) + x*N2(x^2)……3

就这样将(W(0,N))^2,(W(1,N))^2,...,(W(N-1,N))^2一个一个往1，2式代，然后根据3式组合就可以得到结果了。

按照相同的办法，将此式递归下去，最终就可以得到结果。这就是库利-图基算法的大概思想。

语言描述起来很抽象，使用蝴蝶网络来表示，就可以一目了然：

如图，展示了一个N=8的快速傅里叶变换执行流程。

按照这种算法，可以很快写出递归算法类C伪代码：

Array recursive_fft(a)
{
    int n =  a.lengh();
    if(n=)
        return a;
    W wn = e^*PI*i/n;
    W w = ;
    Array a0 = {a0,a2,a3……a(n-)};
    Array a1 = {a1,a3,a5……a(n-)};
    Array y0 = recursive(a[]);
    Array y1 = recursive(a[]);
    Array y;
    for(int k = ;k<=n/-;++k)
    {
        y[k] = y0[k]+wy1[k];
        y[k+n/] = y0[k]-wy1[];
        w *= wn
    }
    return y;
}

然而，FFT在实际应用中往往需求很高的效率，虽然都是O(n*logn)d的时间复杂度，但是在递归的实现算法中，隐含的常数更大（这点可以参考《算法导论》的相关内容，这里不做具体讨论）。并且，递归的方案也不好用GPU实现。
所以需要实现迭代的FFT，参考算法导论相代码实现如下：

#pragma once
#include "RBVector2"

class RBFFTTools
{
public:
    static void iterative_fft(RBVector2 *v,RBVector2 *out,int len)
    {
        bit_reverse_copy(v,out,len);
        int n = len;
        for (int s = ; s <= log(n)/log();s++)
        {
            int  m = pow(, s);
            RBVector2 wm(cos( * PI / m), sin( * PI / m));
            for (int k = ; k < n ;k+=m)
            {
                RBVector2 w = RBVector2(,);
                for (int j = ; j < m / ;++j)
                {
                    RBVector2 vv = out[k + j + m / ];
                    RBVector2 t = RBVector2(w.x*vv.x - w.y*vv.y,w.x*vv.y+w.y*vv.x);
                    RBVector2 u = out[k + j];
                    out[k + j] = RBVector2(u.x+t.x,u.y+t.y);
                    out[k + j + m / ] = RBVector2(u.x-t.x,u.y-t.y);
                    w = RBVector2(w.x*wm.x - w.y*wm.y, w.x*wm.y + w.y*wm.x);
                }
            }
        }
    }
    //逆变换
    static void iterative_ifft(RBVector2 *v, RBVector2 *out, int len)
    {
        bit_reverse_copy(v, out, len);
        int n = len;
        for (int s = ; s <= log(n)/log(); s++)
        {
            int  m = pow(, s);
            RBVector2 wm(cos( * PI / m), sin( * PI / m));
            for (int k = ; k < n; k += m)
            {
                RBVector2 w = RBVector2(, );
                for (int j = ; j < m / ; ++j)
                {
                    RBVector2 vv = out[k + j + m / ];
                    RBVector2 t = RBVector2(w.x*vv.x - w.y*vv.y, w.x*vv.y + w.y*vv.x);
                    RBVector2 u = out[k + j];
                    out[k + j] = RBVector2(u.x + t.x, u.y + t.y);
                    out[k + j + m / ] = RBVector2(u.x - t.x, u.y - t.y);
                    w = RBVector2(w.x*wm.x + w.y*wm.y, -w.x*wm.y + w.y*wm.x);
                }
            }
        }

        for (int i = ; i < n;++i)
        {
            out[i].x /= n;
            out[i].y /= n;
        }

    }
private:
    static void bit_reverse_copy(RBVector2 src[], RBVector2 des[], int len)
    {
        for (int i = ; i < len;i++)
        {
            des[bit_rev(i, len-)] = src[i];
        }
    }

public:
    static unsigned int bit_rev(unsigned int v, unsigned int maxv)
    {
        unsigned int t = log(maxv + )/log();
        unsigned int ret = ;
        unsigned int s = 0x80000000>>();
        for (unsigned int i = ; i < t; ++i)
        {
            unsigned int r = v&(s << i);
            ret |= (r << (t-i-)) >> (i);
        }
        return ret;
    }
};

上面的代码出现了两个函数：bit_reverse_copy()和bit_rev()，这两个函数用于将初始数据按照bit反转顺序进行排序。

bit反转看下面例子就可了然：

000	000
001	100
010	010
011	110
100	001
101	101
110	011
111	111

即把所有bit位冲头到尾颠倒一次。

上面iterative_ifft()是逆变换，逆变换很简单就可以修改出来，只需要根据W的性质进行修改W的更新，以及除以一个N就可以了。

运行结果如下：

参考：算法导论 第30章

基于GPU的FFT

这里使用OpenGL的Fragment Shader来实现FFT，我使用了两个浮点纹理作为输入，一个纹理表示蝴蝶网络，一个表示当前的输入数据：

一个N（2的幂）的FFT需要迭代log_2(N)次，蝴蝶网络和输入数据每次迭代都会更新，更新的数据用于下次迭代输入，输出的数据使用FBO来暂存，效率还可以。

蝴蝶网络的单元结构如下：

输入数据仅用了四个通道中的前两个，用来存放数据的实部和虚部。

GPU算法可以通过蝴蝶网络图很容易的得出：

观察此图，可以发现：

每次迭代都需要输出数据，输出的数据由下图计算方案决定：

W(r,N)就储存在对应的蝴蝶网络纹理中，取出来就可以了。

另外，每次迭代后都要对于蝴蝶网络更新，更新的内容包括：

更新W和更新对应项的索引x，y值，由上图可以知道，W只需下标乘以2得到Nnew，上标依次从零到Nnew，以此2循环即可。因为转换一下就可以知道，W的变换其实是下面这个规律：

W(0,2) W(0,4) W(0,8) W(0,16) ……

W(1,2) W(1,4) W(1,8) W(1,16) ……

W(2,4) W(2,8) W(2,16) ……

W(3,4) W(3,8) W(3,16) ……

W(4,8) W(4,16) ……

W(5,8) .................

W(6,8) .................

W(7,8) .................

.................

而索引的变换就更加简单了，加上当前的迭代次数即可。

思路很简单，但是调试的时候很蛋疼，给出的代码使用了OpenFrameworks提供的OpenGL框架：

#include "ofApp.h"
#include "time.h"

time_t t_s1,t_e1;
time_t t1,t2;

void ofApp::setup()
{
    ofDisableArbTex();
    imag_test.loadImage("1.jpg");

    first = true;
    N = ;
    cur = ;

    source = new RBVector2[N*N];
    rev_source = new RBVector2[N*N];
    out = new RBVector2[N*N];

    //禁用Alpha混合，否则绘制到FBO会混合Alpha,造成数据丢失
    ofDisableAlphaBlending();

    for(int i=;i<;i++)
    {
        weight_index[i].allocate(N,N,GL_RGBA32F);
        res_back[i].allocate(N,N,GL_RGBA32F);
        data[i].allocate(N,N,ofImageType::OF_IMAGE_COLOR_ALPHA);
    }
    //初始化蝴蝶网络
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        for(int j=;j<N;j++)
        {
            if(j%==)
                data[].setColor(j,i,ofFloatColor(.f,.f,(float)((i*N+j+)%N),(float)((i*N+j+)/N)));
            else
                data[].setColor(j,i,ofFloatColor(.f,.f,(float)((i*N+j-)%N),(float)((i*N+j-)/N)));
        }
    }
    //初始化原始数据，这里使用随机数
    for(int i=;i<N*N;i++)
    {
        float s1 = ofRandomf();
        float s2 = ofRandomf();
        source[i] = RBVector2(s1,s2);
    }
    t_s1 = time();
    bit_reverse_copy(source,rev_source,N*N);
    t_e1= time();
    t2 = t_e1 - t_s1;
    //初始化到纹理数据
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        for(int j=;j<N;j++)
        {
            data[].setColor(j,i,ofFloatColor(rev_source[i*N+j].x,rev_source[i*N+j].y,,));
        }
    }

    data[].update();
    data[].update();

    weight_index[].begin();
    data[].draw(,,N,N);
    weight_index[].end();

    res_back[].begin();
    data[].draw(,,N,N);
    res_back[].end();

    ofSetWindowShape(,);
    weight_index_shader.load("normalv.c","generate_weight_and_index_f.c");
    gpu_fft_shader.load("normalv.c","gpu_fft_f.c");

    t_s1 = time();
    //CPU变换
    RBFFTTools::iterative_fft(source,out,N*N);
    t_e1 = time();

    t1 = t_e1 - t_s1;
}

//--------------------------------------------------------------
void ofApp::draw()
{
    if(first)
    {
        t_s1 = time();

        for(int i = ;i<N*N;i*=)
        {

            res_back[-cur%].begin();

            //更新输出
            gpu_fft_shader.begin();
            gpu_fft_shader.setUniform1i("size",N);
            gpu_fft_shader.setUniform1i("n_step",i);
            gpu_fft_shader.setUniform3f("iResolution",N,N,);
            gpu_fft_shader.setUniformTexture("tex_index_weight",weight_index[cur].getTextureReference(),);
            gpu_fft_shader.setUniformTexture("tex_res_back",res_back[cur].getTextureReference(),);
            gpu_fft_shader.setUniformTexture("test",imag_test.getTextureReference(),);
            ofRect(,,N,N);
            gpu_fft_shader.end();
            res_back[-cur%].end();

            //更新蝴蝶网络数据
            weight_index[-cur%].begin();
            weight_index_shader.begin();
            weight_index_shader.setUniform1i("size",N);
            weight_index_shader.setUniform1i("n_step",i);
            weight_index_shader.setUniform3f("iResolution",N,N,);
            weight_index_shader.setUniformTexture("tex_input",weight_index[cur].getTextureReference(),);
            ofRect(,,N,N);
            weight_index_shader.end();
            weight_index[-cur%].end();

            cur =  - cur%;
        }
        t_e1= time();
        t2 += (t_e1 - t_s1);

    cout<<"==================↓gpu================"<<endl;
    //输出GPU计算结果
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        for(int j=;j<N;j++)
        {
            //cout<<s.getColor(j,i).r<<","<<s.getColor(j,i).g<<endl;
        }
    }
    cout<<"==================↓cpu================"<<endl;
    //输出CPU计算结果
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        for(int j=;j<N;j++)
        {
            int index = i*N+j;
            //cout<<out[index].x<<","<<out[index].y<<endl;
        }
    }
    cout<<"===================================="<<endl;
    //对比CPU和GPU计算结果
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        for(int j=;j<N;j++)
        {

            float rx = s.getColor(j,i).r;
            float ry = s.getColor(j,i).g;
            int index = i*N+j;
            float delta = 0.1;
            if(abs(rx-out[index].x)>delta||abs(ry-out[index].y)>delta)
            {
                //数据在误差范围外，出错
                goto wrong;
                //cout<<s.getColor(j,i).r<<","<<s.getColor(j,i).g<<"|"<<out[index].x<<","<<out[index].y<<endl;
            }
            else
            {
                //cout<<s.getColor(j,i).r<<","<<s.getColor(j,i).g<<","<<s.getColor(j,i).b<<","<<s.getColor(j,i).a<<endl;
            }

        }
    }
    cout<<"CPU:"<<t1<<endl<<"GPU:"<<t2<<endl;
            first = !first;
    }

    if(false)
    {
wrong:
        printf("wrong!!!\n");
    }
    //绘制数据输入纹理和数据输出纹理
    res_back[cur].draw(N,,N,N);
    data[].draw(,,N,N);
}

更新数据Shader：

#version
uniform sampler2D tex_index_weight;
uniform sampler2D tex_res_back;
uniform sampler2D test;
uniform int size;
uniform int n_step;

uniform vec3 iResolution;

out vec4 outColor;

void main()
{
    vec2 tex_coord = gl_FragCoord.xy/iResolution.xy;

    float cur_x = gl_FragCoord.x - 0.5;
    float cur_y = gl_FragCoord.y - 0.5;

    vec2 outv;

    vec4 temp = texture(tex_index_weight,tex_coord);
     vec2 weight = vec2(cos(temp.r/temp.g**3.141592653),sin(temp.r/temp.g**3.141592653));
     vec2 _param2_index = temp.ba;

     vec2 temp_param2_index = _param2_index;
    temp_param2_index.x += 0.5;
    temp_param2_index.y += 0.5;
    vec2 param2_index = temp_param2_index/iResolution.xy;

     vec2 param1 = texture(tex_res_back,tex_coord).rg;
     vec2 param2 = texture(tex_res_back,param2_index).rg;

    int tex_coord_n1 = int((cur_y*size)+cur_x);
    int tex_coord_n2 = int((_param2_index.y*size)+_param2_index.x);

    if(tex_coord_n1<tex_coord_n2)
    {
        outv.r = param1.r + param2.r*weight.r-weight.g*param2.g;
        outv.g = param1.g +weight.r*param2.g + weight.g*param2.r;
    }
    else
    {
        outv.r = param2.r + param1.r*weight.r-weight.g*param1.g;
        outv.g = param2.g +weight.r*param1.g + weight.g*param1.r;
    }

    outColor = vec4(outv,,);

}

更新蝴蝶网络Shader：

#version 

uniform sampler2D tex_input;
uniform int size;
uniform int n_total;
uniform int n_step;

in vec3 normal;
uniform vec3 iResolution;
out vec4 outColor;

void main()
{
    vec2 tex_coord = gl_FragCoord.xy/iResolution.xy;
        float cur_x = gl_FragCoord.x - 0.5;
    float cur_y = gl_FragCoord.y - 0.5;

    vec4 outv;
    int tex_coord_n = int((cur_y*size)+cur_x);

    //updata weight
    vec2 pre_w = texture(tex_input,tex_coord).rg;
    float i = pre_w.r;
    float n = pre_w.g;
    float new_i;
    float new_n;
    new_i = i;
    new_n = n*;
    if(tex_coord_n%(n_step*) > n_step*-)
    {
        new_i += n_step*;
    }
    outv.r = new_i;
    outv.g = new_n;

    //updata index
    vec2 pre_index = texture(tex_input,tex_coord).ba;
    int x = int(pre_index.x);
    int y = int(pre_index.y);
    int ni = n_step*;
    int new_tex_coord_n = tex_coord_n;
    if((tex_coord_n/ni)%==)
    {
        new_tex_coord_n += ni;
    }
    else
    {
        new_tex_coord_n -= ni;
    }
    outv.b = new_tex_coord_n%size;
    outv.a = new_tex_coord_n/size;

    outColor = outv;
} 

用time大概对比了一下GPU和CPU的计算时间，结果如下：

N = 512*512的情况下，误差在0.1以内，在我的应用情况下是可以接受的，更高的数据意味着更多的迭代次数，会进一步降低数据精度，目前还没有解决误差问题。

运行50次，大概对比如下，不是很准确，仅供参考：