「SDOI2014」重建 解题报告

「SDOI2014」重建

题意

给一个图\(G\)，两点\((u,v)\)有边的概率是\(p_{u,v}\)，求有\(n-1\)条边通行且组成了一颗树的概率是多少。

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抄了几个矩阵树定理有趣的感性说法

• 矩阵树定理的度数矩阵记录的是每个点的边权和，邻接矩阵记录的是边权，求的则是所有生成树的边权乘积和

• 考虑Kirchhoff矩阵的意义：\(K[G]=D[G]−A[G]=B[G]B^T[G]\)，之所以能够进行生成树计数是对于其伴随矩阵在计数\(n−1\)条边的集合时，当\(n−1\)条边中存在环就会产生线性组合而导致行列式为零，否则恰好对角线上均为伴随矩阵中所赋的值，使得\(\det(B_{i,j})^2\)就为\(1\)

考虑直接把度数矩阵赋为出度概率和，连边矩阵为概率，然后相减套矩阵树定理求得是什么

\[\sum_T\prod_{(u,v)\in T}p_{u,v}
\]

然而我们需要求

\[\sum_T\prod_{(u,v)\in T}p_{u,v}\prod_{(u,v)\notin T}(1-p_{u,v})
\]

化一下可以得到

\[\prod_{(u,v)\in G}(1-p_{u,v})\sum_T\prod_{(u,v)\in T}\frac{p_{u,v}}{1-p_{u,v}}
\]

然后把后面的拿去跑矩阵树就可以了。

注意一些精度问题，把\(p=0\)搞成\(p=\epsilon\)，\(p=1\)搞成\(1-\epsilon\)差不多就可以了

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Code:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
const int N=52;
const double eps=1e-10;
int n;
double p[N][N],a[N][N];
void Gauss()
{
    --n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int id=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(a[id][i])<fabs(a[j][i])) id=j;
		std::swap(a[id],a[i]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
		    double p=a[j][i]/a[i][i];
		    for(int k=n;k>=i;k--)
				a[j][k]-=a[i][k]*p;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	double sum=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%lf",&p[i][j]);
			if(p[i][j]==0) p[i][j]=eps;
			if(p[i][j]==1) p[i][j]=1-eps;
			if(i<j) sum*=1-p[i][j];
			a[i][j]=p[i][j]/(1-p[i][j]);
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	    a[i][i]=0;
	    for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j)
				a[i][i]+=a[i][j],a[i][j]=-a[i][j];
	}
	Gauss();
	for(int i=1;i<=n;i++) sum*=fabs(a[i][i]);
	printf("%.4lf\n",sum);
	return 0;
}

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2019.2.21