[HAOI2008]圆上的整点（数论）

题目的所求可以转化为:

\(y^2=r^2-x^2\)（其中r,x,y均为整数）

即\(y^2=(r-x)(r+x)\)（其中\(r,x,y\)均为整数）

不妨设\((r-x)=d*u\)-------① \((r+x)=d*v\)-------②（其中\(gcd(u,v)=1\)）

则有\(y^2=d^2*u*v\)，因为\(u,v\)互质所以\(u,v\)一定是完全平方数，所以再设\(u=s^2,v=t^2\)

则有\(y^2=d^2*s^2*v^2\)，即\(y=d*s*v\)

②-①得\(x=\frac{ t^2-s^2 }{2}*d\)

②+①得\(2*r=(t^2+s^2)*d\)

然后枚举\(2*r\)的约数\(d\)，枚举算出\(s\)，算出对应\(t\)，若\(gcd(t,s)=1\)且\(s,t\)为整数，带入求出\(x,y\)，若符合题意答案就加二（\(x,y\)满足交换律）

最后的答案为\((ans+1)*4\)，(\(+1\)是因为坐标轴上有一点，\(*4\)是因为4个象限)

注意：小心乘法运算时爆longlong

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
il int read()
{
    re int x=0,f=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}
il int gcd(int a,int b)
{
	if(!b) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int r,ans;
il void work(int d)
{
	for(re int s=1;s*s<=r/d;++s)
	{
		int t=sqrt(r/d-s*s);
		if(gcd(s,t)==1&&s*s+t*t==r/d)
		{
			int x=(s*s-t*t)/2*d;
			int y=d*s*t;
			if(x>0&&y>0&&x*x+y*y==(r/2)*(r/2)) ans+=2;
		}
	}
}
signed main()
{
	r=read()*2;
	for(re int i=1;i*i<=r;++i)
	{
		if(r%i==0)
		{
			work(i);
			if(i*i!=r) work(r/i);
		}
	}
	printf("%lld",(1+ans)*4);
	return 0;
}