bzoj2973转移矩阵构造法!
- /*
- 构造单位矩阵(转移矩阵)
- 给定n*m网格,每个格子独立按照长度不超过6的操作串循环操作
- 对应的操作有
- 0-9:拿x个石头到这个格子
- nwse:把这个格子的石头推移到相邻格子
- d:清空该格石子
- 开始时网格是空的,问t秒后石头最多的格子里有多少个石子
- t很大,并且每次操作后格子里的石头是线性变化的,所以用矩阵来加速递推
- 将n*m网格表示成为(i-1)*m+j的一维数组,那么这个数组对应的转移矩阵大小应该是(nm)^2
- 然后由于每个格子的操作串最长只有6,并且1-6的最小公倍数是60,所以所有格子的操作60秒一个循环
- 那么求出每秒的转移矩阵,用Ai表示第i秒的转移矩阵,(1<=i<=60)
- 另A=mul(Ai),t=p*60+r,那么结果状态就是A^p*mul(A1,Ar);
- 那么如何将操作对应到转移矩阵的构造上?
- 考虑转移矩阵的运行原理:可以将F'[j]=F[i]*A[i][j],即将原数组的F[i]*A[i][j]然后加到F'[j]上
- 0-9:凭空把x个石头转移到第i个格子上,令F[0]=1,A[0][num(i,j)]=x,如此即可完成状态转移
- nwse:距离n操作:把第i行的石头转移到第i-1行,即把num[i][j]的石头转移到num[i-1][j],那么令A[num[i][j]][num[i-1][j]]=1即可
- 保证要使F[0]=1,那么将A[0][0]设置为1
- A的其它数值都为0
- F数组就是[1,0,0,0,0,0,0,0,...0]
矩阵快速幂加速计算- */
- #include<bits/stdc++.h>
- using namespace std;
- #define P 65
- #define ll long long
- int n,m,t,q,i,j,k,x,y,N;
- int id[P][P],a[P][P],l[P];//
- char b[P][P];
- ll ans;
- struct mat{
- ll a[P][P];
- mat(){memset(a,,sizeof a);}
- mat operator*(mat b){//重载矩阵乘法
- mat c;
- for(int i=;i<n;i++)
- for(int j=;j<n;j++)
- for(int k=;k<n;k++)
- c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
- return c;
- }
- }one,A[P],pre[P],B,C,D;
- int main(){
- scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&t,&q);
- char ch;
- for(int i=;i<=n;i++)//输入每个格子对应的操作序号
- for(int j=;j<=m;j++)
- cin>>ch,a[i][j]=ch-'',id[i][j]=++N;
- N++;
- for(int i=;i<q;i++){//输入q行不同的操作序列
- scanf("%s",b[i]+),l[i]=strlen(b[i]+);
- b[i][]=b[i][l[i]];//循环点处理一下
- }
- for(int i=;i<n;i++)one.a[i][i]=;//构造单位矩阵
- pre[]=one;
- char c;
- for(int i=;i<=;i++){//求出每个时间点对应的状态转移矩阵
- A[i].a[][]=;//对于第1个点
- for(int j=;j<=n;j++)
- for(int k=;k<=m;k++){
- //求出第[j,k]块的序号,就是a[j][k],在第i个时间点对应的操作c
- c=b[a[j][k]][i%l[a[j][k]]];
- if(c>='' && c<=''){//数字
- A[i].a[id[j][k]][]=c-'';
- A[i].a[id[j][k]][id[j][k]]++;
- }
- if(c=='N'){//向各个方向转移
- x=j-,y=k;
- if(x>=)
- A[i].a[id[x][y]][id[j][k]]++;
- }
- if(c=='S'){
- x=j+,y=k;
- if(x<=n)
- A[i].a[id[x][y]][id[j][k]]++;
- }
- if(c=='W'){
- x=j,y=k-;
- if(y>=)
- A[i].a[id[x][y]][id[j][k]]++;
- }
- if(c=='E'){
- x=j,y=k+;
- if(y<=m)
- A[i].a[id[x][y]][id[j][k]]++;
- }
- }
- pre[i]=A[i]*pre[i-];//把所有时间点的矩阵乘起来
- }
- B=pre[],C=one;
- for(k=t/;k;k>>=){//快速幂
- if(k&)C=C*B;
- B=B*B;
- }
- D.a[][]=,D=pre[t%]*C*D;//把余下时间的矩阵呈上去
- for(int i=;i<N;i++)//由于F数组只有第0项为1,那么直接求D[i][0]的最大值即可!
- if(ans<D.a[i][])
- ans=D.a[i][];
- printf("%lld",ans);
- }
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