凸包(Convex Hull)构造算法——Graham扫描法
凸包(Convex Hull)
在图形学中,凸包是一个非常重要的概念。简明的说,在平面中给出N个点,找出一个由其中某些点作为顶点组成的凸多边形,恰好能围住所有的N个点。
这十分像是在一块木板上钉了N个钉子,然后用一根绷紧的橡皮筋它们都圈起来,这根橡皮筋的形状就是所谓的凸包。
计算凸包的一个著名算法是Graham Scan法,它的时间复杂度与所采用的排序算法时间复杂度相同,通常采用线性对数算法,因此为\( O\left(N\mathrm{log}\left(N\right)\right) \)。
1. 找到所有点\( P_{0,1,...,N-1} \)中最下方的点,记为\( P_{L} \);
2. 计算所有其他的点\( P_{i}\left(i\neq L\right) \) 与 \( P_{L} \)构成的向量\( \overrightarrow{P_{L}P_{i}} \)相对于水平轴的夹角。因为所有的点都在该\( P_{L} \)上方,因此向量的取值范围为\( \left(0, 180\right) \) ,所以可以用余切值代替角度值;
3. 对所有其他的点按照第2步算出的角度进行排序,且\( P_{L} \)为排序后的数组的第0位;
4. 从点\( P_{L} \)开始,依此连接每一个点(已经排序过),每连接一个点检测连线的走向是否是逆时针的,如果是则留下该点的前一个点,反之去除前一个点,使之与前面第二个点直接连接,继续这一检测,直到是逆时针或者所有点都被检测过为止。
判断三个点依此连成两条线段走向是否为逆时针,用这两条线段向量的叉积判断:叉积>0,逆时针;反之顺时针或者共线。
这里采用Qt 5.7实现了一个算法的演示程序,其中算法的部分如下(由于在Qt的坐标系中,y向下增长,因此在计算纵坐标差值时需要取相反数)。
void DisplayWidget::calConvexHull()
{
int size = m_points.size();
if (size < )
{
return;
} // First: find the lowest point
int maxY = ;
int indexOfLowest = -;
for (int i = ; i < size; i++)
{
if (m_points.at(i).y() > maxY)
{
maxY = m_points.at(i).y();
indexOfLowest = i;
}
} std::swap(*m_points.begin(), *(m_points.begin() + indexOfLowest));
QPoint &lowestPoint = *(m_points.begin()); // Second: calculate ctan(angles)
double *ctanAngles = new double[size];
for (int i = ; i < size; i++)
{
double deltaY = lowestPoint.y() - m_points.at(i).y() + DBL_EPSILON;
double deltaX = m_points.at(i).x() - lowestPoint.x();
ctanAngles[i] = deltaX / deltaY;
} // Third: Sort subscript
int *subscript = new int[size];
for (int i = ; i < size; i++)
{
subscript[i] = i;
}
std::sort(subscript + , subscript + size, [ctanAngles](int a1, int a2) { return ctanAngles[a2] < ctanAngles[a1]; }); // Fourth: Calculate convex hull
std::vector<QPoint> convexHullPoints;
convexHullPoints.push_back(*m_points.begin());
convexHullPoints.push_back(m_points.at(subscript[])); for (int i = ; i < size; i++)
{
convexHullPoints.push_back(m_points.at(subscript[i]));
while (convexHullPoints.size() > &&
!isAnticlockwise(*(convexHullPoints.end() - ), *(convexHullPoints.end() - ), *(convexHullPoints.end() - )))
{
*(convexHullPoints.end() - ) = *(convexHullPoints.end() - );
convexHullPoints.pop_back();
}
} m_convexHullPoints = std::move(convexHullPoints); delete[] ctanAngles;
delete[] subscript;
}
效果如下:
程序源码:http://files.cnblogs.com/files/HolyChen/ConvexHull.rar
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