刷爆 LeetCode 双周赛 100，单方面宣布第一题最难

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大家好，我是小彭。

上周末是 LeetCode 第 100 场双周赛，你参加了吗？这场周赛整体没有 Hard 题，但是也没有 Easy 题。第一题国服前百名里超过一半人 wa，很少见。

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周赛概览

2591. 将钱分给最多的儿童（Easy）
- 题解一：模拟 $O(1)$
- 题解二：完全背包 $O(children·money^2)$
2592. 最大化数组的伟大值（Medium）
- 题解一：贪心 / 田忌赛马 $O(nlgn)$
- 题解二：最大重复计数 $O(n)$
2593. 标记所有元素后数组的分数（Medium）
- 题解一：排序 O$(nlgn)$
- 题解二：按照严格递减字段分组 $O(n)$
2594. 修车的最少时间（Medium)
- 题解一：二分查找 $O(n + U·log(mc^2))$
- 题解二：二分查找 + 计数优化 $O(n·log(mc^2))$

2591. 将钱分给最多的儿童（Easy）

题目地址

https://leetcode.cn/problems/distribute-money-to-maximum-children/description/

题目描述

给你一个整数 money ，表示你总共有的钱数（单位为美元）和另一个整数 children ，表示你要将钱分配给多少个儿童。

你需要按照如下规则分配：

所有的钱都必须被分配。
每个儿童至少获得 1 美元。
没有人获得 4 美元。

请你按照上述规则分配金钱，并返回最多有多少个儿童获得恰好 **8 美元。如果没有任何分配方案，返回 -1 。

题解一（模拟）

这道题搞数字迷信？发发发 888？

简单模拟题，但是错误率很高，提交通过率仅 19%。

class Solution {
    fun distMoney(money: Int, children: Int): Int {
        var left = money
        // 每人至少分配 1 元
        left -= children
        // 违反规则 2
        if (left < 0) return -1
        // 1、完美：正好所有人可以分配 8 元
        if (left == children * 7) return children
        // 2、溢出：所有人可以分配 8 元有结余，需要选择 1 个人分配结余的金额
        if (left > children * 7) return children - 1
        // 3、不足：尽可能分配 8 元
        var sum = left / 7
        // 结余金额
        left -= sum * 7
        // 如果结余 3 元，并且剩下 1 人分配了 1 元，需要破坏一个 8 元避免出现分配 4 美元
        if (left == 3 && children - sum == 1) return sum - 1
        return sum
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：$O(1)$
空间复杂度：$O(1)$

题解二（完全背包问题）

竞赛中脑海闪现过背包问题的思路，但第一题暴力才是王道，赛后验证可行。

包裹：最多有 children 人；
物品：每个金币价值为 1 且不可分割，最多物品数为 money 个；
目标：包裹价值恰好为 8 的最大个数；
限制条件：不允许包裹价值为 4，每个包裹至少装 1 枚金币。

令 dp[i][j] 表示分配到 i 个人为止，且分配总金额为 j 元时的最大价值，则有：

递推关系：

$$

dp[i][j]=\sum_{k=1}^{j,k!=4} dp[i-1][j-k] + I(k==8)

$$

初始状态 dp[0][0] = 0
终止状态 dp[children][money]

class Solution {
    fun distMoney(money: Int, children: Int): Int {
        var left = money
        // 每人至少分配 1 元
        left -= children
        // 违反规则 2
        if (left < 0) return -1
        val dp = Array(children + 1) { IntArray(left + 1) { -1 } }
        dp[0][0] = 0
        // i：枚举包裹
        for (i in 1..children) {
            // j：枚举金额
            for (j in 0..left) {
                // k：枚举选项
                for (k in 0..j) {
                    // 不允许选择 3
                    if (k == 3) continue
                    // 子状态违反规则
                    if (-1 == dp[i - 1][j - k]) continue
                    // 子状态 + 当前包裹状态
                    val cnt = dp[i - 1][j - k] + if (k == 7) 1 else 0
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], cnt)
                }
            }
        }
        return dp[children][left]
    }
}

滚动数组优化：

class Solution {
    fun distMoney(money: Int, children: Int): Int {
        var left = money
        // 每人至少分配 1 元
        left -= children
        // 违反规则 2
        if (left < 0) return -1
        val dp = IntArray(left + 1) { -1 }
        dp[0] = 0
        // i：枚举包裹
        for (i in 1..children) {
            // j：枚举金额
            for (j in left downTo 0) {
                // k：枚举选项
                for (k in 0..j) {
                    // 不允许选择 3
                    if (k == 3) continue
                    // 子状态违反规则
                    if (-1 == dp[j - k]) continue
                    // 子状态 + 当前包裹状态
                    val cnt = dp[j - k] + if (k == 7) 1 else 0
                    dp[j] = Math.max(dp[j], cnt)
                }
            }
        }
        return dp[left]
    }

复杂度分析：

时间复杂度：$O(children·money^2)$
空间复杂度：$O(money)$

近期周赛背包问题：

2592. 最大化数组的伟大值（Medium）

题目地址

https://leetcode.cn/problems/maximize-greatness-of-an-array/

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。你需要将 nums 重新排列成一个新的数组 perm 。

定义 nums 的 伟大值 为满足 0 <= i < nums.length 且 perm[i] > nums[i] 的下标数目。

请你返回重新排列 nums 后的最大伟大值。

题解一（贪心 / 田忌赛马）

贪心思路：田忌赛马，以下赛马策略最优：

田忌的中等马对齐威王的下等马，田忌胜；
田忌的上等马对齐威王的中等马，田忌胜；
田忌的下等马对齐威王的下等马，齐威王胜。

回到本题，考虑一组贡献伟大值的配对 $(p, q)$，其中 $p < q$。由于越小的值越匹配到更大值，为了让结果最优，应该让 p 尽可能小，即优先匹配 nums 数组的较小值。那么 $q$ 如何选择呢？有 2 种策略：

策略 1 - 优先匹配最大值：无法得到最优解，因为会消耗了较大的 q 值，可能导致部分 p 值无法匹配（如果田忌用上等马对齐威王的下等马，最终将是齐威王生出）；
策略 2- 优先匹配最接近的更大值：最优解，即田忌赛马策略，以 [1,1,1,2,3,3,5] 为例：
- 初始状态 i = 0，j = 0；
- i = 0，j = 0，无法贡献伟大值，j 自增 1（寻找最接近的更大值）；
- i = 0，j = 1，无法贡献伟大值，j 自增 1；
- i = 0，j = 2，无法贡献伟大值，j 自增 1；
- i = 0，j = 3，贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- i = 1，j = 4，贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- i = 2，j = 5，贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- i = 3，j = 6，贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- 退出循环，i = 4；正好等于伟大值 4。

class Solution {
    fun maximizeGreatness(nums: IntArray): Int {
        nums.sort()
        // i：参与匹配的指针
        var i = 0
        for (num in nums) {
            // 贡献伟大值
            if (num > nums[i]) i++
        }
        return i
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：$O(nlgn + n)$ 排序 + 线性遍历，其中 $n$ 是 $nums$ 数组长度；
空间复杂度：$O(lgn)$ 排序递归栈空间。

题解二（最大重复计数）

竞赛中从测试用例中观察到题解与最大重复数存在关系，例如：

用例 [1,1,1,2,3,3,5]：最大重复数为 3，一个最优方案为 [2,3,3,5,x,x,x]，最大伟大值为 7 - 3 = 4，其中 7 是数组长度；
用例 [1,2,2,2,2,3,5]：最大重复数为 4，一个最优方案为 [2,3,5,x,x,x,x]，最大伟大值为 7 - 4 = 3，其中 7 是数组长度；
用例 [1,1,2,2,2,2,3,3,5]，最大重复数为 4，一个最优方案为 [2,2,3,3,5,x,x,x,x]，最大伟大值为 9 - 4 = 5，其中 9 是数组长度。

我们发现题目的瓶颈在于数字最大重复出现计数。最大伟大值正好等于 数组长度 - 最大重复计数。

如何证明？关键在于 i 指针和 j 指针的最大距离：

当 i 指针指向重复元素的首个元素时（例如下标为 0、2、6 的位置），j 指针必须移动到最接近的较大元素（例如下标为 2，6，8 的位置）。而 i 指针和 j 指针的最大错开距离取决于数组重复出现次数最多的元素，只要错开这个距离，无论数组后续部分有多长，都能够匹配上。

class Solution {
    fun maximizeGreatness(nums: IntArray): Int {
        var maxCnt = 0
        val cnts = HashMap<Int, Int>()
        for (num in nums) {
            cnts[num] = cnts.getOrDefault(num, 0) + 1
            maxCnt = Math.max(maxCnt, cnts[num]!!)
        }
        return nums.size - maxCnt
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：$O(n)$ 其中 $n$ 是 $nums$ 数组的长度；
空间复杂度：$O(n)$ 其中 $n$ 是 $cnts$ 散列表空间。

2593. 标记所有元素后数组的分数（Medium）

题目地址

https://leetcode.cn/problems/find-score-of-an-array-after-marking-all-elements/

题目描述

给你一个数组 nums ，它包含若干正整数。

一开始分数 score = 0 ，请你按照下面算法求出最后分数：

从数组中选择最小且没有被标记的整数。如果有相等元素，选择下标最小的一个。
将选中的整数加到 score 中。
标记 被选中元素，如果有相邻元素，则同时标记 与它相邻的两个元素 。
重复此过程直到数组中所有元素都被标记。

请你返回执行上述算法后最后的分数。

题解一（排序）

这道题犯了大忌，没有正确理解题意。一开始以为 “相邻的元素” 是指未标记的最相邻元素，花了很多时间思考如何快速找到左右未标记的数。其实题目没有这么复杂，就是标记数组上的相邻元素。

如此这道题只能算 Medium 偏 Easy 难度。

class Solution {
    fun findScore(nums: IntArray): Long {
        // 小顶堆（索引）
        val heap = PriorityQueue<Int>() { i1, i2 ->
            if (nums[i1] != nums[i2]) nums[i1] - nums[i2] else i1 - i2
        }.apply {
            for (index in nums.indices) {
                offer(index)
            }
        }
        var sum = 0L
        while (!heap.isEmpty()) {
            val index = heap.poll()
            if (nums[index] == 0) continue
            // 标记
            sum += nums[index]
            nums[index] = 0
            // 标记相邻元素
            if (index > 0) nums[index - 1] = 0
            if (index < nums.size - 1) nums[index + 1] = 0
        }
        return sum
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：$O(nlgn)$ 堆排序时间，其中 $n$ 是 $nums$ 数组长度；
空间复杂度：$O(n)$ 堆空间。

题解二（按照严格递减字段分组）

思路参考：灵茶山艾府的题解

按照严格递减字段分组，在找到坡底后间隔累加 nums[i]，nums[i - 2]，nums[i - 4]，并从 i + 2 开始继续寻找坡底。

class Solution {
    fun findScore(nums: IntArray): Long {
        val n = nums.size
        var sum = 0L
        var i = 0
        while (i < nums.size) {
            val i0 = i // 坡顶
            while (i + 1 < n && nums[i] > nums[i + 1]) i++ // 寻找坡底
            for (j in i downTo i0 step 2) { // 间隔累加
                sum += nums[j]
            }
            i += 2 // i + 1 不能选
        }
        return sum
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：$O(n)$ 其中 $n$ 是 $nums$ 数组的长度，每个元素最多访问 2 次；
空间复杂度：$O(1)$ 只使用常数空间。

2594. 修车的最少时间（Medium)

题目地址

https://leetcode.cn/problems/minimum-time-to-repair-cars/

题目描述

给你一个整数数组 ranks ，表示一些机械工的 能力值 。ranksi 是第 i 位机械工的能力值。能力值为 r 的机械工可以在 r * n2 分钟内修好 n 辆车。

同时给你一个整数 cars ，表示总共需要修理的汽车数目。

请你返回修理所有汽车最少需要多少时间。

注意： 所有机械工可以同时修理汽车。

题解（二分查找）

我们发现问题在时间 t 上存在单调性：

假设可以在 t 时间内修完所有车，那么大于 t 的时间都能修完；
如果不能在 t 时间内修完所有车，那么小于 t 的时间都无法修完。

因此，我们可以用二分查找寻找 “可以修完的最小时间”：

二分的下界：1；
二分的上界：将所有的车交给能力值排序最高的工人，因为他的效率最高。

class Solution {
    fun repairCars(ranks: IntArray, cars: Int): Long {
        // 寻找能力值排序最高的工人
        var minRank = Integer.MAX_VALUE
        for (rank in ranks) {
            minRank = Math.min(minRank, rank)
        }
        var left = 1L
        var right = 1L * minRank * cars * cars
        // 二分查找
        while (left < right) {
            val mid = (left + right) ushr 1
            if (check(ranks, cars, mid)) {
                right = mid
            } else {
                left = mid + 1
            }
        }
        return left
    }
    // return 能否在 t 时间内修完所有车
    private fun check(ranks: IntArray, cars: Int, t: Long): Boolean {
        // 计算并行修车 t 时间能修完的车（由于 t 的上界较大，carSum 会溢出 Int）
        var carSum = 0L
        for (rank in ranks) {
            carSum += Math.sqrt(1.0 * t / rank).toLong()
        }
        return carSum >= cars
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：$O(n·log(mc^2))$ 其中 $n$ 是 $ranks$ 数组长度，$m$ 是 $ranks$ 数组的最小值，$c$ 是车辆数量，二分的次数是 $O(log(mc^2))$，每次 $check$ 操作花费 $O(n)$ 时间；
空间复杂度：$O(1)$ 仅使用常量级别空间。

题解二（二分查找 + 计数优化）

我们发现 $ranks$ 的取值范围很小，所有可以用计数优化每次 $check$ 操作的时间复杂度：

class Solution {
    fun repairCars(ranks: IntArray, cars: Int): Long {
        // 寻找能力值排序最高的工人
        val cnts = IntArray(101)
        var minRank = Integer.MAX_VALUE
        for (rank in ranks) {
            minRank = Math.min(minRank, rank)
            cnts[rank]++
        }
        var left = 1L
        var right = 1L * minRank * cars * cars
        // 二分查找
        while (left < right) {
            val mid = (left + right) ushr 1
            if (check(ranks, cars, cnts, minRank, mid)) {
                right = mid
            } else {
                left = mid + 1
            }
        }
        return left
    }
    // return 能否在 t 时间内修完所有车
    private fun check(ranks: IntArray, cars: Int, cnts: IntArray, minRank: Int, t: Long): Boolean {
        // 计算并行修车 t 时间能修完的车（由于 t 的上界较大，carSum 会溢出 Int）
        var carSum = 0L
        for (rank in minRank..100) {
            if (cnts[rank] == 0) continue
            carSum += cnts[rank] * Math.sqrt(1.0 * t / rank).toLong()
        }
        return carSum >= cars
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：$O(n + U·log(mc^2))$ 其中 $n$ 是 $ranks$ 数组长度，$m$ 是 $ranks$ 数组的最小值，$U$ 是 $ranks$ 数组的取值范围，$c$ 是车辆数量，二分的次数是 $O(log(mc^2))$，每次 $check$ 操作花费 $O(U)$ 时间；
空间复杂度：$O(U)$ $cnts$ 计数数组空间。

近期周赛二分查找题目：

这场周赛就这么多，我们下周见。