KMP算法的时间复杂度与next数组分析

一、什么是 KMP 算法

KMP 算法是一种改进的字符串匹配算法，用于判断一个字符串是否是另一个字符串的子串

二、KMP 算法的时间复杂度

O(m+n)

三、Next 数组 - KMP 算法的核心

KMP算法的核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是通过一个 next() 实现

1、next 数组：

长度与字符串长度一致，每个位置存储对应字符的最长匹配长度

2、next 数组通过遍历子字符串中"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度来获得

例如 ABCDABD，得到的 next 数组为 [0,0,0,0,1,2,0]

简单地观察一下就会发现，该算法会进行最少 21 次的字符串判断，这还是在不考虑字符串匹配的时间消耗，光此一项的时间复杂度就是

O(n) = (n(n - 1)) /2 = n² / 2 + n / 2 = n²

在加上匹配字符串，就是m + n²显然大于KMP算法的时间复杂度m + n

3、next数组通过加入回溯法，在遍历子字符串时，判断逐步判断字符是否相同

function get_next(s) {
    var i = 1;
    var j = 0;
    var next = [0];
    while (i < s.length) {
        if (j == 0 || s.charAt(i - 1) == s.charAt(j - 1)) {
            i++;
            j++;
            next.push(j);
        } else {
            j = next[j - 1];
        }
    }
    return next;
}

例如：

j=0,    i=1,    (j=0),     next=[0,1];
j=1,    i=2,    (A!=B),    j=next[0];
j=0,    i=2,    (j=0),    next=[0,1,1];
j=1,    i=3,    (A!=C),    j=next[0];
j=0,    i=3,    (j=0),    next=[0,1,1,1];
j=1,    i=4,    (A!=D),    j=next[0];
j=0,    i=4,    (j=0),    next=[0,1,1,1,1];
j=1,    i=5,    (A=A),    next=[0,1,1,1,1,2];
j=2,    i=6,    (B=B),    next=[0,1,1,1,1,2,3];

总共运行9次就获得了next数组，算法时间复杂度是O(n) = n

4、对于两个next数组的用法也有区别

//1.阮
//i值即移动位数：移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值
function kmp(s1, s2) {
    var next = getNext(s2);
    var j = 0;
    for (var i = 0; i < s1.length;) {
        for (; j < s2.length; j++) {
            if (s1.charAt(i + j) != s2.charAt(j)) {
                i += j > 0 ? (j - next[j - 1]) : 1;
                j = next[j > 0 ? j - 1 : 0];
                break;
            } else if (j == s2.length - 1) {
                return i;
            }
        }
    }
    return -1;
}

//2.程
function kmp2(s1, s2) {
    var j = 0;
    var next = get_next(s2);
    for (var i = 0; i < s1.length;) {
        for (; j < s2.length; j++) {
            if (s1.charAt(i) != s2.charAt(j)) {
                j == 0 ? i++ : true;
                j = next[j > 0 ? j - 1 : 0];
                break;
            } else if (j == s2.length - 1) {
                return i - j;
            }
            i++;
        }
    }
    return -1;
}

//3.也正是由于i值的大小随着j值的大小进行改变，
//  使得被查找字符串仅被遍历一次即可得到解。
//  故时间复杂度为m
//  加上获得next数组的时间复杂度就是kmp算法的总时间复杂度m+n；