[BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

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Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值) 这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6

1 2 1

1 3 2

2 4 3

3 5 4

3 4 3

4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

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题解

先求出最小生成树，要严格次小

枚举每一条非树边找俩顶点树链上的最大边（如果最大边相同与非树边边权相同则找次大边）然后更新最小增量

最大边和次大边可以通过树上倍增求出

复杂度是最小生成树\(m\log m\)，枚举边乱搞\(m\log n\)，所以是\(m\log nm\)

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-') w=-w;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) data=data*10+ch-'0';
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;
co int N=1e5+1,M=3e5+1,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,t,fa[N],d[N],f[N][18];
struct edge{
	int x,y,z,k;
	bool operator<(co edge&e)co {return z<e.z;}
}p[M];
int g[N][18][2];
ll sum,ans=1e18;
vector<pair<int,int> > e[N];
int get(int x) {return fa[x]==x?x:fa[x]=get(fa[x]);}
void kruskal(){
	sort(p+1,p+m+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=1,x,y;i<=m;++i){
		x=get(p[i].x),y=get(p[i].y);
		if(x==y) continue;
		fa[x]=y,sum+=p[i].z,p[i].k=1;
	}
}
void dfs(int x){
	for(int i=0,y;i<e[x].size();++i){
		if(d[y=e[x][i].first]) continue;
		d[y]=d[x]+1;
		f[y][0]=x;
		g[y][0][0]=e[x][i].second;
		g[y][0][1]=-INF;
		for(int j=1;j<=t;++j){
			f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
			g[y][j][0]=max(g[y][j-1][0],g[f[y][j-1]][j-1][0]);
			if(g[y][j-1][0]==g[f[y][j-1]][j-1][0])
				g[y][j][1]=max(g[y][j-1][1],g[f[y][j-1]][j-1][1]);
			else if(g[y][j-1][0]<g[f[y][j-1]][j-1][0])
				g[y][j][1]=max(g[y][j-1][0],g[f[y][j-1]][j-1][1]);
			else g[y][j][1]=max(g[y][j-1][1],g[f[y][j-1]][j-1][0]);
		}
		dfs(y);
	}
}
void lca(int x,int y,int&val1,int&val2){
	if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
	for(int i=t;i>=0;--i)if(d[f[y][i]]>=d[x]){
		if(val1>g[y][i][0]) val2=max(val2,g[y][i][0]);
		else{
			val1=g[y][i][0];
			val2=max(val2,g[y][i][1]);
		}
		y=f[y][i];
	}
	if(x==y) return;
	for(int i=t;i>=0;--i)if(f[x][i]!=f[y][i]){
		val1=max(val1,max(g[x][i][0],g[y][i][0]));
		val2=max(val2,g[x][i][0]!=val1?g[x][i][0]:g[x][i][1]);
		val2=max(val2,g[y][i][0]!=val1?g[y][i][0]:g[y][i][1]);
		x=f[x][i],y=f[y][i];
	}
	val1=max(val1,max(g[x][0][0],g[y][0][0]));
	val2=max(val2,g[x][0][0]!=val1?g[x][0][0]:g[x][0][1]);
	val2=max(val2,g[y][0][0]!=val1?g[y][0][0]:g[y][0][1]);
}
int main(){
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=m;++i) read(p[i].x),read(p[i].y),read(p[i].z);
	kruskal();
	for(int i=1;i<=m;++i)if(p[i].k)
		e[p[i].x].push_back(make_pair(p[i].y,p[i].z)),e[p[i].y].push_back(make_pair(p[i].x,p[i].z));
	t=log(n)/log(2)+1;
	d[1]=1;
	for(int i=0;i<=t;++i) g[1][i][0]=g[1][i][1]=-INF;
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=m;++i)if(!p[i].k){
		int val1=-INF,val2=-INF;
		lca(p[i].x,p[i].y,val1,val2);
		if(p[i].z>val1) ans=min(ans,sum-val1+p[i].z);
		else ans=min(ans,sum-val2+p[i].z);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}