征途 bzoj 4518

征途

【问题描述】

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

【输入格式】

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

【输出格式】

一个数，最小方差乘以 m^2 后的

【样例输入】

5 2
1 2 5 8 6

【样例输出】

36

【数据范围】

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

---

题解：

来推一下式子：

方差：(x₁ - aver)² + (x₂ - aver)² + ... + (x_m - aver)²  / m

然后题意要求乘m²

那么

　m×[(x₁ - aver)² + (x₂ - aver)² + ... + (x_m - aver)² ]

= m×[x_1² + x_{2^{2 + ... + xm2}} - 2aver(x₁ + x₂ + ... + x_m ) + m × aver²]

= m×(x_1² + x_{2^{2 + ... + xm2}}) - 2sum² + sum²  (aver = sum / m)

= m×(x_1² + x_{2^{2 + ... + xm2}}) - sum² 

其实m和sum都为常量，那么只要考虑中间的平方和部分

设f[i][j]为分到点j且分成i段时每一段的平方和

转移方程即为：f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + (sum[j] - sum[k]) * (sum[j] - sum[k])); (k < j)

三方效率肯定过不了，看出这是一个斜率优化的裸题，那就可以虾搞蛋了~\(≧▽≦)/~

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 inline int Get()
 {
     int x = ;
     char c = getchar();
     while('' > c || c > '') c = getchar();
     while('' <= c && c <= '')
     {
         x = (x << ) + (x << ) + c - '';
         c = getchar();
     }
     return x;
 }
 int n, m;
 int t, w;
 int c[];
 int s[];
 long long aver;
 long long f[][];
 long long sum[];
 double Up(int x, int y, int i)
 {
     return f[i - ][x] + sum[x] * sum[x] - f[i - ][y] - sum[y] * sum[y];
 }
 double Down(int x, int y)
 {
     return (sum[x] - sum[y]) << ;
 }
 long long Dp(int i, int j, int x)
 {
     return f[i - ][x] + (sum[j] - sum[x]) * (sum[j] - sum[x]);
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i = ; i <= m; ++i)
         for(int j = ; j <= n; ++j)
             f[i][j] = 214748364721474836LL;
     for(int i = ; i <= n; ++i)
     {
         scanf("%d", &c[i]);
         sum[i] = sum[i - ] + c[i];
         f[][i] = sum[i] * sum[i];
     }
     aver = sum[n];
     for(int i = ; i <= m; ++i)
     {
         t = , w = ;
         s[++w] = i - ;
         for(int j = i; j <= n; ++j)
         {
 /*
             for(int k = i - 1; k <= j; ++k)
             f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + (sum[j] - sum[k]) * (sum[j] - sum[k]));
 */
             while(t < w && Up(s[t], s[t + ], i) / Down(s[t], s[t + ]) <= sum[j]) ++t;
             f[i][j] = Dp(i, j, s[t]);
             while(t < w && Up(j, s[w], i) / Down(j, s[w]) <= Up(s[w], s[w - ], i) / Down(s[w], s[w - ])) --w;
             s[++w] = j;
         }
     }
     printf("%lld", (long long) m * f[m][n] - aver * aver);
 }