【BZOJ 2005】[Noi2010]能量采集 （容斥原理| 欧拉筛+ 分块）

能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4

【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

 

　　感觉我自己很难想出来哈~
　　O(nlogn)：f[i]表示不超过限制时gcd(a,b)=i的对数，从后往前做然后减掉多算的：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn =100005;
typedef long long LL ;
LL f[maxn];///f[i]表示满足gcd(x,y)=i的对数
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    LL t=min(n,m);
    LL ans=0;
    for(int i=t;i;i--){
        f[i]=(LL)(m/i)*(n/i);
        for(int j=i+i;j<maxn;j+=i)
            f[i]-=f[j];
        ans+=f[i]*(2*i-1);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

　　

　　把他们累加起来计算即可。

O(n):∑(a,b) (1<=a<=n,1<=b<=m) = ∑phi[d]*⌊n/d⌋*⌊m/d⌋
具体见ppt证明。

O(√n)：用分块方法计算上式

　　可见，形式类似d*√（n/d）的可以考虑分块优化来做~~

代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 100010
 #define LL long long

 LL pri[Maxn],phi[Maxn],cnt;
 bool q[Maxn];

 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}

 void get_phi(LL mx)
 {
     memset(q,,sizeof(q));
     cnt=;
     phi[]=;
     for(LL i=;i<=mx;i++)
     {
         if(q[i])
         {
             pri[++cnt]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         for(LL j=;j<=cnt;j++)
         {
             if(i*pri[j]>mx) break;

             q[i*pri[j]]=;
             // int a=0,b=i;
             // while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++;
             if(i%pri[j]==) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
             else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-);

             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     get_phi();
     int T=;
     while(T--)
     {
         LL ans=;
         LL n,m;
         scanf("%lld%lld",&n,&m);

         for(LL i=;i<=mymin(n,m);i++)
         {
             ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i);
             // printf("%d %d\n",i,phi[i]*(n/i)*(m/i));
         }

         ans=*ans-m*n;

         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

O（nlogn）

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 100010
 #define LL long long

 LL pri[Maxn],phi[Maxn],h[Maxn],cnt;
 bool q[Maxn];

 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}

 void get_phi(LL mx)
 {
     memset(q,,sizeof(q));
     cnt=;
     phi[]=;
     for(LL i=;i<=mx;i++)
     {
         if(q[i])
         {
             pri[++cnt]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         for(LL j=;j<=cnt;j++)
         {
             if(i*pri[j]>mx) break;

             q[i*pri[j]]=;
             // int a=0,b=i;
             // while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++;
             if(i%pri[j]==) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
             else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-);

             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
     h[]=phi[];
     for(int i=;i<=mx;i++) h[i]=h[i-]+phi[i];
 }

 int main()
 {
     get_phi();
     int T=;
     while(T--)
     {
         LL ans=;
         LL n,m,t;
         scanf("%lld%lld",&n,&m);
         if(n>m) t=n,n=m,m=t;

         int sq=(int)ceil(sqrt((double)m));

         for(LL i=;i<=sq;i++)
         {
             ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i);
         }

         for(LL i=sq+;i<=n;)
         {
             int x=n/i,y=m/i;
             int r1=n/x+,r2=m/y+;
             int r=mymin(r1,r2);
             if(r>n+) r=n+;
             ans+=x*y*(h[r-]-h[i-]);
             i=r;
         }

         ans=*ans-m*n;

         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

O（√n） 分块

2016-08-30 09:16:28