HDU 6229 - Wandering Robots - [概率题]

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6229

转载：

https://blog.csdn.net/Anna__1997/article/details/78494788

题目大意

N * N的区域内，有K个格子不能到达，机器人从(0, 0)出发有均等的该概率留在原地和到达上下左右可到达的区域，问无穷远的时间以后有多大概率到达 x + y >= n - 1 的区域。

思路

计算除了不能到达的格子之外的格子能通往多少方向d，则格子的权值为d + 1，

ans = x + y >= n - 1 的格子的权值之和 / 总权值和

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马尔科夫链的随机游走模型
可建立状态转移矩阵，对n * n 的图中n * n 个点编号为0 ~[ (n - 1) * n + n – 1] 设最大编号为max
P = p(i, j) =

[p(0, 0) p(0, 1) … p(0, max)
P(1, 0) p(1, 1) … p(1, max)
…
P(max, 0) p(max, 1) … p(max, max)]
π(i) 为 i 时间各点的概率
π(n + 1) = π(n) * P
当时间 ->无穷 π(n + 1)->π
可以通过 π * P = π 计算
验证猜测结果正确
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找规律的答案 有待证明
现在能想到的是 整个封闭系统每个格子以出现机器人的概率作为权值 在很长的时间线上是一个熵增的
过程(想到元胞自动机)，如果要模拟这个概率扩散的过程的话，格子的权值的更新是一个用他所能到达的格子的权值
和他自身的权值迭代的过程，这个过程中可以发现他的相邻的格子的权值是在不断同化的，因此，在无穷远后
(0, 0)的和他周围的格子的权值不在体现优势，而更加开放的格子则更占优(可根据迭代公式理解)

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
 
const int maxn=+;
const int maxk=+;
const int dx[]={,,,-};
const int dy[]={,,-,};
 
int n,k;
map<pii,bool> mp;
int p,q;
 
inline int gcd(int m,int n){return n?gcd(n,m%n):m;}
inline int check(const int &x,const int &y)
{
    if(x<||x>=n||y<||y>=n) return ;
 
    if((x==||x==n-) && (y==||y==n-))  return ;
    else if((x==||x==n-) && (y!=&&y!=n-))  return ;
    else if((y==||y==n-) && (x!=&&x!=n-))  return ;
    else return ;
}
 
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    for(int kase=;kase<=T;kase++)
    {
        mp.clear();
 
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=,x,y;i<=k;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            mp[make_pair(x,y)]=;
        }
 
        p=*+*(n-)*+(n-)*(n-)/*;
        q=*+*(n-)*+(n-)*(n-)*;
        for(map<pii,bool>::iterator it=mp.begin();it!=mp.end();it++)
        {
            int x=((*it).first).first;
            int y=((*it).first).second;
            if(x+y>=n-) p-=check(x,y);
            q-=check(x,y);
 
            for(int i=;i<;i++)
            {
                int nxtx=x+dx[i];
                int nxty=y+dy[i];
                if(check(nxtx,nxty)> && mp.count(make_pair(nxtx,nxty))==)
                {
                    if(nxtx+nxty>=n-) p--;
                    q--;
                }
            }
        }
 
        int g=gcd(p,q);
        printf("Case #%d: %d/%d\n",kase,p/g,q/g);
    }
}