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\(Solution\)

参考:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9781573.html

暴力:\(f[i][j][k]\)表示前\(i\)个数,与起来为\(j\),异或和为\(k\)的方案数。复杂度\(O(n*4^{13})\)。

考虑位运算的性质,最后怎么得到某一位的1:&要求所有数这一位为1,^只需判这一位为1的数的奇偶性。

所以我们用13位三进制s表示13位01的状态(2表示全1,0/1表示奇偶性),再存一下选的数的个数。

这样DP就是\(O(n*3^{13})\)了。

但是直接\(f[i][s][0/1]\)不会写啊,求路过dalao教。。(拆状态好像也挺麻烦)

记异或和为\(x\),位与和为\(y\),因为是与,所以\(x\)再与\(y\)和\(y\)是有关系的,也就是当选了奇数个数时,\(x\&y=y\);否则\(x\&y=0\)。

那么暴力中的合法的\(j,k\)实际没有\(2^{13}*2^{13}\)那么多。

所有合法状态满足\(x\&y=y\)或是\(x\&y=0\),也就是\(y\)要么是\(x\)的子集,要么与\(x\)没有交集(别忘这种情况啊)。

因为有第二种情况所以只求异或和的所有子集不行。但再求一遍补集存状态也不对(不知道为什么)。

令\(xx=x\&(\sim y)\),我们发现\(xx\)还是确定的?而且因为\(x,y\)的关系,选奇数个时\(x\)就是\(xx|y\),否则\(x=xx\)。

我们枚举\(y\),再枚举\(\sim y\)的子集(要\(\&8191\))得到\(xx\)。(我也不知道怎么会想到用\(xx\)。。好神啊)

在DP的时候根据奇偶性把\(x\)转化出来就行了(得状态再\(\&(\sim y)\))。然后就可以同暴力直接转移。

状态数为\(O(3^{13})\)。

答案是\(f[n][status(0,0)][0]+\sum_s f[n][status(s,s)][1]\)。

复杂度也是\(O(n*3^{13})\)。

DP数组也要longlong(随机的话倒也爆不了int)。

id[][]按枚举顺序确定下标会快近一倍。

  1. #include <cstdio>
  2. #include <cctype>
  3. #include <cstring>
  4. #include <algorithm>
  5. #define gc() getchar()
  6. #define all 8191
  7. #define cnt 1594323
  8. typedef long long LL;
  9. const int N=8192+3,M=1594323+3;
  10. int And[M],XX[M],id[N][N];
  11. LL F[M][2],G[M][2];
  12. inline int read()
  13. {
  14. int now=0;register char c=gc();
  15. for(;!isdigit(c);c=gc());
  16. for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
  17. return now;
  18. }
  19. int Init()
  20. {
  21. int n=0;
  22. for(int y=0; y<=all; ++y)//y
  23. {
  24. int ss=(~y)&all;
  25. for(int x=ss; ; x=(x-1)&ss)
  26. {
  27. id[y][x]=++n;
  28. XX[n]=x, And[n]=y;
  29. if(!x) break;
  30. }
  31. }
  32. return n;
  33. }
  34. int main()
  35. {
  36. // const int all=8191;
  37. // const int cnt=1594323;
  38. Init();
  39. int n=read(); LL (*f)[2]=F,(*g)[2]=G;
  40. f[id[all][0]][0]=1;
  41. for(int i=1,ai; i<=n; ++i)
  42. {
  43. ai=read(), std::swap(f,g);
  44. memcpy(f,g,sizeof F);//f[i][s]=f[i-1][s]
  45. for(int j=1; j<=cnt; ++j)
  46. for(int k=0; k<2; ++k)
  47. {
  48. if(!g[j][k]) continue;
  49. int x=XX[j],y=And[j];
  50. k && (x|=y);
  51. x^=ai, y&=ai;
  52. x&=(~y);
  53. f[id[y][x]][k^1]+=g[j][k];
  54. }
  55. }
  56. LL ans=f[id[0][0]][0];
  57. for(int i=1; i<=cnt; ++i) if(!XX[i]) ans+=f[i][1];//x==y xx=0
  58. printf("%lld\n",ans);
  59. return 0;
  60. }

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