基本的传染病模型：SI、SIS、SIR及其Python代码实现

本文主要参考博客：http://chengjunwang.com/en/2013/08/learn-basic-epidemic-models-with-python/。该博客有一些笔误，并且有些地方表述不准确，推荐大家阅读Albert-Laszlo Barabasi写得书Network Science，大家可以在如下网站直接阅读传染病模型这一章：http://barabasi.com/networksciencebook/chapter/10#contact-networks。Barabasi是一位复杂网络科学领域非常厉害的学者，大家也可以在他的官网上查看作者的一些相关工作。

　　下面我就直接把SIS模型和SIR模型的代码放上来一起学习一下。我的Python版本是3.6.1，使用的IDE是Anaconda3。Anaconda3这个IDE我个人推荐使用，用起来很方便，而且提供了Jupyther Notebook这个很好的交互工具，大家可以尝试一下，可在官网下载：https://www.continuum.io/downloads/。

在Barabasi写得书中，有两个Hypothesis：1,Compartmentalization; 2, Homogenous Mixing。具体看教材。

默认条件：1, closed population; 2, no births; 3, no deaths; 4, no migrations.

　　1.    SI model

 # -*- coding: utf-8 -*-
 
 import scipy.integrate as spi
 import numpy as np
 import pylab as pl
 
 beta=1.4247
 """the likelihood that the disease will be transmitted from an infected to a susceptible
 individual in a unit time is β"""
 gamma=0
 #gamma is the recovery rate and in SI model, gamma equals zero
 I0=1e-6
 #I0 is the initial fraction of infected individuals
 ND=70
 #ND is the total time step
 TS=1.0
 INPUT = (1.0-I0, I0)
 
 def diff_eqs(INP,t):
     '''The main set of equations'''
     Y=np.zeros((2))
     V = INP
     Y[0] = - beta * V[0] * V[1] + gamma * V[1]
     Y[1] = beta * V[0] * V[1] - gamma * V[1]
     return Y   # For odeint
 
 t_start = 0.0; t_end = ND; t_inc = TS
 t_range = np.arange(t_start, t_end+t_inc, t_inc)
 RES = spi.odeint(diff_eqs,INPUT,t_range)
 """RES is the result of fraction of susceptibles and infectious individuals at each time step respectively"""
 print(RES)
 
 #Ploting
 pl.plot(RES[:,0], '-bs', label='Susceptibles')
 pl.plot(RES[:,1], '-ro', label='Infectious')
 pl.legend(loc=0)
 pl.title('SI epidemic without births or deaths')
 pl.xlabel('Time')
 pl.ylabel('Susceptibles and Infectious')
 pl.savefig('2.5-SI-high.png', dpi=900) # This does increase the resolution.
 pl.show()

结果如下图所示

　　在早期，受感染个体的比例呈指数增长， 最终这个封闭群体中的每个人都会被感染，大概在t=16时，群体中所有个体都被感染了。

　　2.    SIS model

 # -*- coding: utf-8 -*-
 
 import scipy.integrate as spi
 import numpy as np
 import pylab as pl
 
 beta=1.4247
 gamma=0.14286
 I0=1e-6
 ND=70
 TS=1.0
 INPUT = (1.0-I0, I0)
 
 def diff_eqs(INP,t):
     '''The main set of equations'''
     Y=np.zeros((2))
     V = INP
     Y[0] = - beta * V[0] * V[1] + gamma * V[1]
     Y[1] = beta * V[0] * V[1] - gamma * V[1]
     return Y   # For odeint
 
 t_start = 0.0; t_end = ND; t_inc = TS
 t_range = np.arange(t_start, t_end+t_inc, t_inc)
 RES = spi.odeint(diff_eqs,INPUT,t_range)
 
 print(RES)
 
 #Ploting
 pl.plot(RES[:,0], '-bs', label='Susceptibles')
 pl.plot(RES[:,1], '-ro', label='Infectious')
 pl.legend(loc=0)
 pl.title('SIS epidemic without births or deaths')
 pl.xlabel('Time')
 pl.ylabel('Susceptibles and Infectious')
 pl.savefig('2.5-SIS-high.png', dpi=900) # This does increase the resolution.
 pl.show()

运行之后得到结果如下图：

　　由于个体被感染后可以恢复，所以在一个大的时间步，上图是t=17，系统达到一个稳态，其中感染个体的比例是恒定的。因此，在稳定状态下，只有有限部分的个体被感染，此时并不意味着感染消失了，而是此时在任意一个时间点，被感染的个体数量和恢复的个体数量达到一个动态平衡，双方比例保持不变。请注意，对于较大的恢复率gamma，感染个体的数量呈指数下降，最终疾病消失，即此时康复的速度高于感染的速度，故根据恢复率gamma的大小，最终可能有两种可能的结果。

　　3.    SIR model

# -*- coding: utf-8 -*-
 
import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import pylab as pl
 
beta=1.4247
gamma=0.14286
TS=1.0
ND=70.0
S0=1-1e-6
I0=1e-6
INPUT = (S0, I0, 0.0)
 
def diff_eqs(INP,t):
	'''The main set of equations'''
	Y=np.zeros((3))
	V = INP
	Y[0] = - beta * V[0] * V[1]
	Y[1] = beta * V[0] * V[1] - gamma * V[1]
	Y[2] = gamma * V[1]
	return Y   # For odeint
 
t_start = 0.0; t_end = ND; t_inc = TS
t_range = np.arange(t_start, t_end+t_inc, t_inc)
RES = spi.odeint(diff_eqs,INPUT,t_range)
 
print(RES)
 
#Ploting
pl.plot(RES[:,0], '-bs', label='Susceptibles')  # I change -g to g--  # RES[:,0], '-g',
pl.plot(RES[:,2], '-g^', label='Recovereds')  # RES[:,2], '-k',
pl.plot(RES[:,1], '-ro', label='Infectious')
pl.legend(loc=0)
pl.title('SIR epidemic without births or deaths')
pl.xlabel('Time')
pl.ylabel('Susceptibles, Recovereds, and Infectious')
pl.savefig('2.1-SIR-high.png', dpi=900) # This does, too
pl.show()

所得结果如下图：