KMP算法,对于求b串在a串中出现的次数。

在学习KMP之前,希望大家充分掌握hash。

HASH:

1.hash表:用来离散化(hash数组,hash链表)

2.Rabin-Kap算法:

  可替代KMP(O(n)),Manacher(O(n))等;
  hs[t]=hs[t-1]*p+s[t];
  hash(x,y)=hs[y]-hs[x-1]*p^(y-x+1);  
哈希是字符串题目的基础(个人觉得)

一般情况下,hash是可以替代KMP的。

但我们为什么还要学KMP呢?

众所周知,hash会产生hash冲突。于是kmp就上场了。

我们由一道题来引入正题:

很明显,次数为3(abababa)

  有三种方法:

    一、暴力  

      枚举左端或右端点,另一个端点根据S2确定,线性扫一遍当前区间,检查是否匹配。

      If(匹配) ans++;
      时间复杂度: O(n^2) 在此不再赘述。
    二、哈希
      在暴力的基础上,扫描区间检查的时候是O(1)的。
      总时间复杂度: O(n)
    三、 KMP算法
       而KMP算法也可以在O(n)的时间内求出答案。 
暴力匹配:

每次从A字符串的第i位,B字符串的第1位开始逐一比较,相等则继续下一位比较,如果能一直比较到B字符串的末尾,则找到了一次匹配

最坏情况:

A=aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 
B=aaaaaaaab 
设A的长度为N,B的长度为M

时间复杂度为O(MN)

KMP算法 
f[i]:最大的k,使得A(1..i)的子串的后k位等于B的前k位
i = 7
A = abababaababacb
B = ababacb
f[i] = 5 
B在A中出现的次数 等于 满足f[i]=(B的长度)的i的个数
转化为快速求f[i]数组

关于转化:

关于代码实现:

辅助数组next:

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e6+;
char s1[N],s2[N];
int cas,l1,l2,fail[N];
void get_next(){
int p=;fail[]=;
for(int i=;i<=l2;i++){
while(p>&&s2[i]!=s2[p+]) p=fail[p];
if(s2[i]==s2[p+]) p++;
fail[i]=p;
}
}
void kmp(){
int p=,ans=;
for(int i=;i<=l1;i++){
while(p>&&s1[i]!=s2[p+]) p=fail[p];
if(s1[i]==s2[p+]) p++;
if(p==l2) ans++,p=fail[p];
}
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
for(scanf("%d",&cas);cas--;){
scanf("%s%s",s2+,s1+);
l1=strlen(s1+);l2=strlen(s2+);
get_next();
kmp();
}
return ;
}

关于KMP的应用:

应用1.

  给定一个字符串A,求最短的字符串B,使得A是若干个B连接成的字符串的前缀 。

    若A=abcabcab 
    则B=abc 
  解法:

    求出A串在KMP算法中A的next数组
    设A的长度为N
    则答案为A的前N-next[N]位
    显然[nxet[N]+1,N]是循环节

    为什么呢?

      我们可以分两种情况讨论:

        1.next[N]>N/2

        2.nextN]<=N/2

应用2.

  给定一个字符串A,求最短的字符串B,使得A是若干个B连接成的字符串的子串

    若A=bcabcabc

    则B=abc

  解法:

    其实和上一题一毛一样

    A=bcabcabc

    若B是一个循环节,则把B循环节移位一下仍是循环节。

    abc->bca

应用3:

  给出字符串A和B,求在A中最多能选出多少个互不重叠的B串 
    A=abababab

    B=aba

   最多选出两个:abababab

  解法:

    每次贪心地选出最靠左的一个B串即可

    KMP匹配时记下上次完全匹配的位置,遇到完全匹配时判断是否和上次的位置重叠即可

应用4:

  给定一个字符串A

  对于A的每个前缀A(1...i),求最长的字符串Bi,使得len(Bi)<i,且A是若干个Bi连接成的字符串的前缀

  求每个Bi,len(A)<=10^6

  解法:

    将每个Bi称作循环节,最长的循环节不一定是最短循环节重复若干遍

    aabbaa
    最短: aabb
    最长: aabba 
    求next数组
    对于每个前缀A(1…i), A(1…i-next[i]), A(1…inext[next[i]])……都是它的循环节
    沿着next指针往前跳,直到跳到0之前
    对每个i直接跳: O(N2)
    递推:记min[i]表示从i开始沿next往前跳最小能跳到多少
    时间复杂度:O(N) 
应用5:

  在N*M字符矩阵中找出一个最小子矩阵,使其多次复制所得的矩阵包含原矩阵。 N<=10000,M<=75

    

  解法:

    先找出最大的K,使得原矩阵是若干个K*M的矩阵拼成一列后的子矩阵

    把一行看做一个整体,对列做KMP

    用应用1的方法确定最小行宽

    再在K*M的矩阵中,把一列看做一个整体,用同样的方法求最小行宽

    时间复杂度:O(N*M) 
应用6:

  字符集中有一些字符(最多26个), 给出每个字符的出现概率(它们的和保证为1)
  再给出一个子串B,长为M
  求:任给一个长度为N的字符串A(只能包含字符集中的字符),使得S是A的子串的概率。
  N<=100

  解法:
    动态规划
    想象一边随机生成字符串A,一边用KMP匹配字符串B的过程
    f[i][j]表示随机生成到第i位,此时B串匹配到第j位的概率
    枚举下一位生成字符c,设其生成概率为gc
    假设下一位填c,计算出KMP匹配指针j应该移动到j‘
    f[i+1][j’] += f[i][j]*gc
    已经匹配到第m位的状态不再进行转移
      ans = ∑f[i][m]

应用7:

  给定一个数字串A,不含前导0,长为m。 m<=9
    求第P小的包含子串A的数字
    P<=109 
  解法:

    答案最多18位
    二分答案X,转为判断小于等于X的包含子串A的数字有多少个
    F[i][j][k][l]表示,填完前i位, KMP指针指向A的第j位,之前是否出现过子串A的状态为k(0/1),下一位能否任意填数的状态为l(0/1),的方案数
    答案为∑f[18][j][1][l] 
应用8:

  有一枚硬币,抛到正面的概率是a/b,反面概率是1-a/b
  不停地抛硬币,将得到的结果用01序列记录下来, 0表示反面, 1表示正面
  给定01序列A,长为n,求期望抛几次可以在结果序列中找到子串A
  n<=1000, 0<=a,b<=100
  答案用最简分数形式输出 
  解法:

    想象一边随机生成序列一边在A串上移动KMP匹配指针的过程
    f[i]表示当指针在A的第i位时, 期望抛几次可以抛出A串
    设: i0为下一位抛出0时指针对应的位置, i1为下一位抛出1时指针对应的位置
    f[n] = 0
    f[i] = 1+p*f[i1]+(1-p)*f[i0] (i<n)
    解方程组 
    太麻烦(而且要求答案保留分数形式)
    注意到, i0、 i1中必有一个等于i+1,另一个小于I
    当i0=i+1时:f[i] = 1+(a/b)*f[i1]+(1-a/b)*f[i0]
    当i1=i+1时:
    f[i+1] = (b/a)*(f[i]-1-(1-a/b)*f[i0])
    递推即可

一世安宁

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