2014年百度之星程序设计大赛 - 初赛（第一轮） hdu Grids (卡特兰数 大数除法取余 扩展gcd)

题目链接

分析：打表以后就能发现时卡特兰数， 但是有除法取余。

f[i] = f[i-1]*(4*i - 2)/(i+1);

看了一下网上的题解，照着题解写了下面的代码，不过还是不明白，为什么用扩展gcd, 不是用逆元吗。。

网上还有别人的解释，没看懂，贴一下：

(a / b) % m = ( a % (m*b)) / b

笔者注：鉴于ACM题目特别喜欢M=1000000007,为质数：

当gcd(b,m) = 1, 有性质: (a/b)%m = (a*b^-1)%m, 其中b^-1是b模m的逆元.

求出b相对于m的逆元b^(-1)，即b*(b^(-1)) = 1 (mod m)。有b*b^(-1) - km = 1，其中k是一整数. 用Extended Euclid算法可以求出`b^(-1)。然后计算a*b^(-1) mod m = ( (a%m) * (b^(-1)%m ) % m; 其值与(a/b) mod m相同

推导：a/b = x (mod m) --两边同乘一个数--> a = bx (mod m) ---x=b^-1a-> a = (b^-1) ba (mod m)

再利用b^-1*b = 1(mod m) . 所以可以得出 x = b^-1*a是成立的。

所以 (a/b) mod m 的解与 (a*b^-1)%m的解是一样的。 而后着可以利用模对乘法的线性性

AC代码：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>
 #define LL __int64
 using namespace std;
 const int mo =  + ;
 const int maxn =  + ;
 LL f[maxn];
 
 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
 {
     if(b==)
     {
         x=; y=; return a;
     }
     LL d = exgcd(b,a%b,x,y);
     LL t=x;
     x=y;
     y=t-a/b*y;
     return d;
 }
 void init()
 {
     int i;
     LL x, y;
     f[] = f[] = ;
     for(i = ; i < maxn-; i++)
     {
         f[i] = f[i-]*(*i-)%mo;
         exgcd(i+, mo, x, y);
         f[i] = (f[i]*((x+mo)%mo))%mo;
     }
 }
 int main()
 {
     int t, n, ca = ;
     init();
     scanf("%d", &t);
     while(t--)
     {
         scanf("%d", &n);
         printf("Case #%d:\n", ca++);
         printf("%I64d\n", f[n]);
     }
     return ;
 }

扩展gcd:

 //扩展 GCD
  //求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;  
 
 int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)
 {
     if (b == ) { x=; y=; return a; }
     int d = extgcd(b, a % b, x, y);
     int t = x; x = y; y = t - a / b * y;
     return d;
 }