转载自 从B树、B+树、B*树谈到R 树

1.用阶定义的B树

B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (注:切勿简单的认为一棵m阶的B树是m叉树,虽然存在四叉树,八叉树,KD树,及vp/R树/R*树/R+树/X树/M树/线段树/希尔伯特R树/优先R树等空间划分树,但与B树完全不等同)的特性如下

    1. 树中每个结点最多含有m个孩子(m>=2);
    2. 除根结点和叶子结点外,其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子(其中ceil(x)是一个取上限的函数);
    3. 若根结点不是叶子结点,则至少有2个孩子(特殊情况:没有孩子的根结点,即根结点为叶子结点,整棵树只有一个根节点);
    4. 所有叶子结点都出现在同一层,叶子节点没有孩子和指向孩子的指针,这些节点也存在,也有元素。
每个非终端结点中包含有n个关键字信息: (n,P0,K1,P1,K2,P2,......,Kn,Pn)。其中:
       a)   Ki (i=1...n)为关键字,且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。 
       b)   Pi为指向子树根的接点,且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki,但都大于K(i-1)。 
       c)   关键字的个数n必须满足: [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。
 
例1:
 
    如上图所示,即是一棵B树,一棵关键字为英语中辅音字母的B树,现在要从树种查找字母R(包含n[x]个关键字的内结点x,x有n[x]+1]个子女(也就是说,一个内结点x若含有n[x]个关键字,那么x将含有n[x]+1个子女)。所有的叶结点都处于相同的深度,带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点):
相信,从上图你能轻易的看到,一个内结点x若含有n[x]个关键字,那么x将含有n[x]+1个子女。如含有2个关键字D H的内结点有3个子女,而含有3个关键字Q T X的内结点有4个子女。
 
 
例2:一棵包含24个英文字母的5阶B树的存储结构图。

说明:
     按照定义,在5【m】阶B树里,根中的关键字数目可以是1~4,子树数可以是2~5;其它的结点中关键字数目可以是2~4【 [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1】,若该结点不是叶子,则它可以有3~5棵子树【[ceil(m / 2)]<=n<=m】。

2.B树的高度

若B树某一非叶子节点包含N个关键字,则此非叶子节点含有N+1个孩子结点,而所有的叶子结点都在第I层,我们可以得出:

  1. 因为根至少有两个孩子,因此第2层至少有两个结点。
  2. 除根和叶子外,其它结点至少有┌m/2┐个孩子,
  3. 因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点,
  4. 在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点,
  5. 在第 I 层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点,于是有: N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2;
  6. 考虑第L层的结点个数为N+1,那么2*(┌m/2┐^(l-2))≤N+1,也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个,即: I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2;
 

  所以

  • 当B树包含N个关键字时,B树的最大高度为l-1(因为计算B树高度时,叶结点所在层不计算在内),即:l - 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1
 

  这个B树的高度公式从侧面显示了B树的查找效率是相当高的。

曾在一次面试中被问到,一棵含有N个总关键字数的m阶的B树的最大高度是多少?答曰:log_ceil(m/2)(N+1)/2 + 1 (上面中关于m阶B树的第1点特性已经提到:树中每个结点含有最多含有m个孩子,即m满足:ceil(m/2)<=m<=m。而树中每个结点含孩子数越少,树的高度则越大,故如此)。
 
3.B+-tree

B+-tree:是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于:

1.有n棵子树的结点中含有n-1 个关键字; (此处颇有争议,B+树到底是与B 树n棵子树有n-1个关键字 保持一致,还是不一致:B树n棵子树的结点中含有n个关键字,待后续查证。暂先提供两个参考链接:①wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree#Overview;②http://hedengcheng.com/?p=525。)

2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息,及指向含有这些关键字记录的指针,且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分,结点中仅含有其子树根结点中最大(或最小)关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

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