01-时间复杂度、对数器（python）、冒泡、选择、递归实质、归并、小和问题、逆序对、mid

1、时间复杂度

常数时间的操作：一个操作如果和数据量没有关系，每次都是
固定时间内完成的操作，叫做常数操作。

时间复杂度为一个算法流程中，常数操作数量的指标。常用O
（读作big O）来表示。

具体来说，在常数操作数量的表达式中，
只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数，剩下的部分
如果记为f(N)，那么时间复杂度为O(f(N))。

评价一个算法流程的好坏，先看时间复杂度的指标，然后再分
析不同数据样本下的实际运行时间，也就是常数项时间。

例子一：理解时间复杂度

一个简单的理解时间复杂度的例子

一个有序数组A，另一个无序数组B，请打印B中的所有不在A中的数，A数

组长度为N，B数组长度为M。

算法流程1：对于数组B中的每一个数，都在A中通过遍历的方式找一下；

算法流程2：对于数组B中的每一个数，都在A中通过二分的方式找一下；

算法流程3：先把数组B排序，然后用类似外排的方式打印所有不在A中出现

的数；

三个流程，三种时间复杂度的表达...

如何分析好坏？

2、冒泡排序

冒泡排序细节的讲解与复杂度分析

时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

java版本

package basic_class_01;

import java.util.Arrays;

public class Code_00_BubbleSort {

    public static void bubbleSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) {
            for (int i = 0; i < e; i++) {
                if (arr[i] > arr[i + 1]) {
                    swap(arr, i, i + 1);
                }
            }
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    }

}

python版本

# 冒泡排序
# 时间复杂度O(N^2)
# 空间复杂度O(1)

def bubble_sort(li):
    if li is None and len(li) < 2:
        return
    for end in range(len(li) - 1, -1, -1):
        for i in range(end):
            if li[i] > li[i + 1]:
                swap(li, i, i + 1)
    return li

# 优化版本
def bubble_sort1(li):
    if li is None and len(li) < 2:
        return
    for end in range(len(li) - 1, -1, -1):
        exchange = False   # 设置哨兵
        for i in range(end):
            if li[i] > li[i + 1]:
                swap(li, i, i + 1)
                exchange = True
        if not exchange:
            return li
    return li

def swap(data, i, j):
    temp = data[i]
    data[i] = data[j]
    data[j] = temp

# for test
ret = bubble_sort([9, 2, 7, 8, 3, 2, 1])
print(ret)

3、选择排序

选择排序的细节讲解与复杂度分析
时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

java版本

package basic_class_01;

import java.util.Arrays;

public class Code_02_SelectionSort {

    public static void selectionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            int minIndex = i;
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
            }
            swap(arr, i, minIndex);
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }

}

python版本

# 选择排序
# 时间复杂度O(N^2)
# 空间复杂度O(1)

def selection_sort(li):
    if li is None and len(li) < 2:
        return
    for i in range(len(li) - 1):   # 当前n-1个确定好了，最后一个就确定ok
        min_index = i
        for j in range(i + 1, len(li)):
            if li[j] < li[min_index]:
                min_index = j
            swap(li, i, min_index)
    return li

def swap(data, i, j):
    data[i] = data[i] ^ data[j]
    data[j] = data[i] ^ data[j]
    data[i] = data[i] ^ data[j]

# for test
ret = selection_sort([9, 2, 7, 8, 3, 2, 1])
print(ret)

4、插入排序

插入排序的细节讲解与复杂度分析
时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

java版本

    public static void insertionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
                swap(arr, j, j + 1);
            }
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    }

python版本

# 插入排序
# 时间复杂度O(N^2)
# 空间复杂度O(1)

def selection_sort(li):
    if li is None and len(li) < 2:
        return
    for i in range(1, len(li)):
        temp = li[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and temp < li[j]:
            li[j + 1] = li[j]   # 元素往后推一个位置
            j -= 1
        li[j + 1] = temp   # 最小元素放在第一个位置
    return li

# for test
ret = selection_sort([9, 2, 7, 8, 3, 2, 1])
print(ret)

5、对数器

1、用途：验证算法是否正确的一种方式

2、使用

　　0，有一个你想要测的方法a，

　　1，实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b，

　　2，实现一个随机样本产生器

　　3，实现比对的方法

　　4，把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。

　　5，如果有一个样本使得比对出错，打印样本分析是哪个方法出错

　　6，当样本数量很多时比对测试依然正确，可以确定方法a已经正确。

3、实现

1.随机数组发生器

2.准备一个绝对正确的方法

3.大样本测试  500 000

java版本

package basic_class_01;

import java.util.Arrays;

public class Code_00_BubbleSort {

    // 需要验证的算法？？
    public static void bubbleSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) {
            for (int i = 0; i < e; i++) {
                if (arr[i] > arr[i + 1]) {
                    swap(arr, i, i + 1);
                }
            }
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    }

    // 1.随机数组发生器
    // for test
    public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
        // Math.random() -> double [0,1)
        // (int) ((size+1)*Math.random())  -> [0,size]  整数
        // size = 6, size+1 = 7
        // Math.random() -> [0,1) * 7 -> [0,7) double
        // double -> int[0,6) -> int

        // 生成长度随机的数组
        int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
        }
        return arr;
    }

    // 2.准备一个绝对正确的方法
    // for test
    public static void comparator(int[] arr) {
        Arrays.sort(arr);
    }

    // 3.大样本测试  500 000
    // for test
    public static void main(String[] args) {
        int testTime = 500000;
        int maxSize = 100;
        int maxValue = 100;
        boolean succeed = true;
        for (int i = 0; i < testTime; i++) {
            int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
            int[] arr2 = copyArray(arr1);
            bubbleSort(arr1);
            comparator(arr2);
            if (!isEqual(arr1, arr2)) {
                succeed = false;
                break;
            }
        }
        System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

        int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
        printArray(arr);
        bubbleSort(arr);
        printArray(arr);
    }

    //3.1 copy
    // for test
    public static int[] copyArray(int[] arr) {
        if (arr == null) {
            return null;
        }
        int[] res = new int[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            res[i] = arr[i];
        }
        return res;
    }

    // 3.2 验证isEqual，长度一样，每位的数字一样
    // for test
    public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
        if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
            return false;
        }
        if (arr1 == null && arr2 == null) {
            return true;
        }
        if (arr1.length != arr2.length) {
            return false;
        }
        for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
            if (arr1[i] != arr2[i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // 3.3 打印结果
    // for test
    public static void printArray(int[] arr) {
        if (arr == null) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

}

python版本

import random

# 我的方法
def bubble_sort(li):
    if li is None or len(li) < 2:
        return li
    for end in range(len(li) - 1, -1, -1):
        for i in range(end):
            if li[i] > li[i + 1]:
                swap(li, i, i + 1)
    return li

# 交换两个数字，与
def swap(data, i, j):
    data[i] = data[i] ^ data[j]
    data[j] = data[i] ^ data[j]
    data[i] = data[i] ^ data[j]

'''for test'''
# 1.随机数组发生器
def generate_random_array(max_size,max_vaule):
    arr = []
    arr_len = int((max_size+1)*random.random())  # 长度随机，不能大于max_size
    for i in range(arr_len):
        arr.append(int((max_vaule + 1) * random.random()) - int(max_vaule * random.random()))  # value随机
    return arr

# 2.准备一个绝对正确的方法
def comparator(arr):
    return sorted(arr)

# 3.大样本测试 500 000
def main():
    test_time = 500
    max_size = 100
    max_value = 100
    succeed = True
    for i in range(test_time):
        arr1 = generate_random_array(max_size,max_value)
        arr2 = copy_array(arr1)

        arr1 = bubble_sort(arr1)  # 我的方法
        arr2 = comparator(arr2)   # 系统绝对正确的方法

        if not is_equal(arr1,arr2):
            succeed = False
            break

    print("Nice") if succeed else print("Fucking fucked")

    arr = generate_random_array(max_size,max_value)
    print_array(arr)
    bubble_sort(arr)
    print_array(arr)

# 3.1 copy
def copy_array(arr):
    if arr is None:
        return None
    res = []
    for i in range(len(arr)):
        res.append(arr[i])
    return res

# 3.2 验证isEqual，长度一样，每位的数字一样
def is_equal(arr1,arr2):
    if (arr1 is None and arr2 is not None) or (arr1 is not None and arr2 is None):
        return False
    if arr1 is None and arr2 is None:
        return True
    if len(arr1) != len(arr2):
        return False
    for i in range(len(arr1)):
        if arr1[i] != arr2[i]:
            return False
    return True

# 3.3 打印结果
def print_array(arr):
    if arr is None:
        return
    for i in range(len(arr)):
        print(arr[i],end=' ')
    print('\n')

if __name__ == '__main__':
    main()

6、递归

6.1 递归实质

剖析递归行为和递归行为时间复杂度的估算
一个递归行为的例子

def get_max(arr,left,right):
    if left == right:
        return arr[left]
    mid = (left+right)//2
    max_left = get_max(arr,left,mid)
    max_right = get_max(arr,mid+1,right)
    return max(max_left,max_right)

li = [4,3,2,1]
ret = get_max(li,0,len(li)-1)
print(ret)   #

还原现场 ，系统栈

6.2 递归行为复杂度通式

master公式的使用

T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)

1) log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a))
2) log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN)
3) log(b,a) < d -> 复杂度为O(N^d)

补充阅读：www.gocalf.com/blog/algorithm-complexity-and-master-
theorem.html

7、归并排序（递归、分治）

归并排序的细节讲解与复杂度分析
时间复杂度O(N*logN)，额外空间复杂度O(N)

java版本

public static void mergeSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static void mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        mergeSort(arr, l, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, r);
        merge(arr, l, mid, r);
    }

    public static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
    }

python版本

def mergeSort(arr):
    if arr is None or len(arr) < 2:
        return arr
    merge_sort(arr,0,len(arr)-1)
    return arr

def merge_sort(arr,left,right):
    if left == right:
        return arr
    mid = left + ((right-left)>>1)  # left和right中点的位置 (L+R)//2
    # 分解
    merge_sort(arr,left,mid)     # T(n/2)
    merge_sort(arr,mid+1,right)  # T(n/2)

    # 合并
    merge(arr,left,mid,right)   # O(n)
    # T(n)  = 2T(N/2)+ O(N)

def merge(arr,left,mid,right):
    temp = []
    i,j = left,mid+1
    while i<=mid and j <= right:
        if arr[i]<arr[j]:
            temp.append(arr[i])
            i += 1
        else:
            temp.append(arr[j])
            j +=1

    # 两个必且有一个越界
    while i<=mid:
        temp.append(arr[i])
        i += 1
    while j<=right:
        temp.append(arr[j])
        j += 1

    arr[left:right+1] = temp

li = [3,1,2,4]
ret = mergeSort(li)
print(ret)

时间复杂度估算

为什么归并排序比较快

其他排序，有很多无效的比较，浪费比较

8、小和问题

小和问题
在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。求一个数组
的小和。
例子：
　　[1,3,4,2,5]
　　1左边比1小的数，没有；
　　3左边比3小的数，1；
　　4左边比4小的数，1、3；
　　2左边比2小的数，1；
　　5左边比5小的数，1、3、4、2；
　　所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16

　　4*1 + 2*3 + 1*4 + 1*2

java版本

    public static int smallSum(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return 0;
        }
        return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return 0;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        return mergeSort(arr, l, mid) + mergeSort(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
    }

    public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        int res = 0;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
        return res;
    }

python版本

def small_sum(arr):
    if arr is None or len(arr) < 2:
        return arr
    return merge_sort(arr, 0, len(arr) - 1)

def merge_sort(arr, l, r):
    if l == r:
        # return arr   要进行res相加操作
        return 0

    m = l + ((r - l) >> 1)  # m = (L+R)//2
    return merge_sort(arr, l, m) + merge_sort(arr, m + 1, r) + merge(arr, l, m, r)

def merge(arr, l, m, r):
    temp = []
    i, j = l, m + 1

    res = 0  # 每次merge产生的 小和

    while i <= m and j <= r:
        res += (r - j + 1) * arr[i] if arr[i] < arr[j] else 0  # 小和

        if arr[i] < arr[j]:
            temp.append(arr[i])
            i += 1
        else:
            temp.append(arr[j])
            j += 1

    # 两个必且有一个越界
    while i <= m:
        temp.append(arr[i])
        i += 1
    while j <= r:
        temp.append(arr[j])
        j += 1

    for i in range(len(temp)):
        arr[l + i] = temp[i]

    return res

arr = [1,3,4,2,5]
print(small_sum(arr))

res += (r - j + 1) * arr[i] if arr[i] < arr[j] else 0  # 小和

  

左神语录

有一个思路要给大家贯彻到底的
所有东西都是技术问题
你写不出来的原因是因为缺乏练习，
而不是你这个人笨
你知道吗，真的是要建立这种信心

因为我就是那样的阶段趟过来的，
这其中的辛苦确实都知道

9、逆序对问题

在一个数组中，左边的数如果比右边的数大，则折两个数构成一个逆序对，请打印所有逆序
对。

10、取mid的几种方法

11、交换两个数的值

  方法1：  
  　　　 tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;

  方法2： 

        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];

Z、总结

1、时间复杂度

big O  代表常数操作

只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数

2、冒泡

时间复杂度O(N^2)

额外空间复杂度O(1)

3、选择

时间复杂度O(N^2)

额外空间复杂度O(1)

 

4、插入

时间复杂度O(N^2)

额外空间复杂度O(1)

 

5、对数器

验证算法是否正确的一种方式

 

1) 随机数组发生器：长度随机，value随机的数组

2) 一个绝对正确的方法。

3) 我要验证的方法

4) 大样本测试：50000

5) isEqual ：长度一样，每一位数字都相同

6、递归实质

还原现场：系统压栈操作

7、递归的master公式

T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)

8、归并排序 （重要）

递归、分治 思想

时间复杂度O(N*logN)

额外空间复杂度O(N)

归并排序为什么比其他的快？

其他排序，有很多无效的比较，浪费比较

9、小和问题

例子：
　　[1,3,4,2,5]
　　1左边比1小的数，没有；
　　3左边比3小的数，1；
　　4左边比4小的数，1、3；
　　2左边比2小的数，1；
　　5左边比5小的数，1、3、4、2；
　　所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16

　　4*1 + 2*3 + 1*4 + 1*2

归并合并的时候，每次炸出 小和

炸出 （right-j+1）* arr[i]

炸出 4个 1 的小和

炸出 2个 3 的小和

炸出 1个 4 的小和

炸出 1个 2 的小和

10、逆序对问题

在一个数组中，左边的数如果比右边的数大，

则折两个数构成一个逆序对，请打印所有逆序对

也用归并排序

11、取mid的几种方法

12、交换两个数的值

  方法1：  
  　　　 tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;

  方法2： 

        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];

左神语录

有一个思路要给大家贯彻到底的
所有东西都是技术问题
你写不出来的原因是因为缺乏练习，
而不是你这个人笨
你知道吗，真的是要建立这种信心

因为我就是那样的阶段趟过来的，
这其中的辛苦确实都知道

准备模板，必要裸奔取考试

1、对数器

2、堆，排序