NOIP 模拟 $13\; \text{工业题}$

题解

本题不用什么推式子，找规律（而且也找不出来）

可以将整个式子看成一个 \(n×m\) 矩阵

考虑 \(f_{i,j}\)，它向右走一步给出 \(f_{i,j}×a\) 的贡献，向下走一步给出 \(f_{i,j}×b\) 的贡献，那么它到 \(f_{n,m}\) 给出 \(f_{i,j}×a^{m-j}+f_{i,j}×b^{n-i}\) 的贡献

但是，它到终点会有不同的走法，这个用组合数解即可，注意对于 \(f_{i,0}\) 它第一步只能向右走，因为向下的数是确定的。其它同理

预处理出阶乘，逆元和 \(a,b\) 的幂，按上述求解即可

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register signed
#define p(i) ++i
using namespace std;
namespace IO{
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    #define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++
    template<typename T>inline void read(T &x) {
        ri f=1;x=0;register char ch=gc();
        while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=0;ch=gc();}
        while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
        x=f?x:-x;
    }
}
using IO::read;
namespace nanfeng{
    #define cmax(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
    #define cmin(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
    #define FI FILE *IN
    #define FO FILE *OUT
    typedef long long ll;
    static const int MOD=998244353,N=3e5+7;
    ll numx[N],numy[N],cma[N],cmb[N],frac[N<<1],inv[N<<1],a,b,ans;
    int n,m,mx;
    inline void init(int x) {
        int tmp=x<<1;
        inv[0]=inv[1]=frac[1]=1;
        for (ri i(2);i<=tmp;p(i)) frac[i]=frac[i-1]*i%MOD;
        for (ri i(2);i<=tmp;p(i)) inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
        for (ri i(2);i<=tmp;p(i)) (inv[i]*=inv[i-1])%=MOD;
    }
    inline ll C(int a,int b) {return (!a&&!b)?1:frac[a]*inv[a-b]%MOD*inv[b]%MOD;}
    inline int main() {
        // FI=freopen("nanfeng.in","r",stdin);
        // FO=freopen("nanfeng.out","w",stdout);
        read(n),read(m),read(a),read(b);
        mx=cmax(n,m);
        init(mx);
        cma[0]=cmb[0]=1;
        a%=MOD,b%=MOD;
        for (ri i(1);i<=mx;p(i)) cma[i]=cma[i-1]*a%MOD,cmb[i]=cmb[i-1]*b%MOD;
        for (ri i(1);i<=n;p(i)) read(numx[i]),numx[i]%=MOD;
        for (ri i(1);i<=m;p(i)) read(numy[i]),numy[i]%=MOD;
        for (ri i(1);i<=n;p(i)) (ans+=numx[i]*C(m+n-i-1,m-1)%MOD*cma[m]%MOD*cmb[n-i]%MOD)%=MOD;
        for (ri i(1);i<=m;p(i)) (ans+=numy[i]*C(n+m-i-1,n-1)%MOD*cma[m-i]%MOD*cmb[n]%MOD)%=MOD;
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }
}
int main() {return nanfeng::main();}

此题较坑，他输入的 \(a,b,f_{i,0},f_{0,i}\) 均为 long long 范围，所以输入完后要先取模。